はじめまして。
次の積分方程式の解き方を教えてください。
ちなみにフーリエ変換のところで出てきた問題です

∫f(x)cosuxdx= 1 (0≦x<1) , 0 (x>1)

                   (f(x)を求めよ)
よろしくお願いします。

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A 回答 (2件)

問題をきちんと書いてないようです。

いけませんねえ。
想像するに、たとえば、
G(u)=∫f(x)cos(ux) dx
ただしx,uは実数で、積分はx=-∞~∞の範囲の定積分。
f(x)は実数から複素数への関数であって、
∀u(0≦u<1 ⇒ G(u)= 1)
∀u(u>1 ⇒ G(u) = 0)
である。
という問題じゃないでしょうか?

そうだとすれば、おおざっぱには以下のようにして解けます。(うるさいことを言えば、fがどんなクラスの関数なのか、とか議論しなきゃいけないんですが、それはさておき。)

 まず、∀u(cos(ux) = cos(-ux))ですから、
∀u(|u|<1 ⇒ G(u)= 1)
∀u(|u|>1 ⇒ G(u) = 0)
であることが分かります。さらに、G(u)の逆フーリエ変換をg(x)と書くと、
g(x) = (1/(2π))∫G(u)exp(iux)du  (積分はu=-∞~∞の範囲)
= (1/(2π))∫cos(ux)du  (積分はu=-1~1の範囲)
= sin(x)/(πx )
です。
 以上の準備をした上で、
f(x) = a(x) + i b(x)  (a,bは実数から実数への関数)
と書くことにしましょう。
f(x)のフーリエ変換をF(u)と書くと、
F(u) = ∫f(x)exp(- iux)dx (積分はx=-∞~∞の範囲の定積分。以下同様)
 = ∫f(x)cos(ux)dx-i ∫f(x)sin(ux)dx
となります。そして、
G(u) =∫f(x)cos(ux)dx
 = ∫a(x)cos(ux)dx+i∫ b(x)cos(ux)dx
ですが、G(u)は実関数なので
∀u(∫ b(x)cos(ux)dx = 0)
従って、bは奇関数∀x(b(x)=-b(-x) )でなくてはなりません。ゆえに
G(u) =∫a(x)cos(ux)dx
です。従って、
a(x) = g(x)+h(x) (hは任意の、実数から実数への奇関数)
である。なぜならhが奇関数なら∀u(∫h(x)cos(ux)dx=0)だからです。
そこで改めて、実数から複素数への関数cを
c(x) = h(x)+ib(x)
と書くことにすれば、cは奇関数なら何でも良い。
ですから、答は
「f(x) = sin(x)/(πx ) + c(x)、ここにcは任意の奇関数。」
ちゅうことになります。

 もしf(x)を実数から実数への関数、と制限するなら、
「f(x) = sin(x)/(πx )+h(x)、ここにhは任意の奇関数」

 さらにf(x)を実数から実数への偶関数、と制限するなら、
「f(x) = sin(x)/(πx )」
が答になります。

 え?問題が違う?それは質問者の責任でしょ。
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右辺ですが、xで定義域を表しているようですが


左辺はxで積分しておりxを含まないため
等式の意味がよくわからないと思います。
cosux=cos(u x)だとすると左辺はuの関数になると思います。

あとは
左辺がフーリエ変換の実部であることから
右辺をフーリエ変換すればよいのでは?
(係数は定義によると思いますが、
 右辺のフーリエ変換の際にその係数を使って
 整合性をとればいいと思います。)

追加:
右辺は0≦xで定義されているようですが、
x<0は関係ないのでしょうか?だとすると
益々uが定義域の変数である可能性が高いと思います。
(cos()が隅関数であるため)
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問題
A地点にいるA君と、B地点にいるB君が同時に出発して接近した。
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A地点とB地点は10キロ離れている
さて二人が接触する地点の位置はどこで、出発時刻から何分後か?
道中は平坦な直線であり途中に坂や障害などはないとする

さてこの問題の解き方を教えてください

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中学校数学での解き方、
高校数学での解き方、
それぞれ教えてください

Aベストアンサー

A君は時速4キロ、B君は時速8キロで近づいているので、
合わせて時速12キロで近付いています。
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二人は合計で10キロ移動したので、
4*t/60+8*t/60=10
12t=600
t=50分後です。

A君は時速4キロでxキロ、
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走った時に接触したとして、
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まず、自己補足。
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用いられていると判断するのが妥当。

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先の反例のとおり。
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以上、自己補足

---
???
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  (x=y ⇒ f(x)=f(y) はいうまでもないことじゃないですか・・)

  

#3です。

まず、自己補足。
文脈から判断すると、「条件」という言葉は「十分条件」の意味で
用いられていると判断するのが妥当。

ただ、(0,1)で導関数が非負であることだけで、[0,1]で単調増加といえないことは
先の反例のとおり。
(0,1)で導関数f’(x)≧0 に加え
[0,1]でfが連続 とかいった隠れた条件があるとのではないかというのが推測。


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で「lim[n→∞]∫[0~1]f_n(x)dx=∫[0~1]f(x)dxとなる」が示せずに困っています。

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1 (0<x<1の時)
0 (x=0の時)

と積分可能関数fが求めました。

でも
0<x<1の時
lim[n→∞]∫[0~1](f(x)-f_n(x))
=lim[n→∞]∫[0~1](1-nx/(1+nx))dx
=lim[n→∞]∫[0~1](1/(1+nx))dx
=lim[n→∞][-n/(1+nx)^2]^1_0
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> lim[n→∞]∫[0~1](f(x)-f_n(x))
> ・・・
> =lim[n→∞]∫[0~1](1/(1+nx))dx
> =lim[n→∞][-n/(1+nx)^2]^1_0

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>>>たしか、海外の学生の解き方で、まず数字をかけるやり方だったと思います。

ありましたね。

>>>思い出せず、モヤモヤしています。

私もサイトをお気に入りに入れていなかったので、もやもやしています。^^

たぶん、x^2 につく係数を整数の2乗にするんじゃなかったかと思います。

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 = 9x^2 + 3(a+b)x + ab
としてみると、
a+b = -7
ab = 6
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a=-1、b=-6

わりと楽に行きました。
最後の仕上げに、3で割って元に戻しましょう。

ただし、これが思い出せないやり方と同じなのかわかりませんが・・・

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定義域をどう変換したら良いかわからないという意味の質問と捉えるならば、(<、>の下の等号は省略)
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1<x+1<2
-1<x-1<0
よってx-1<y<x+1 は -1<y<2 となり、 -1<v<2
また、x/y=uより0<x<1は0<uy<1
これから両辺に(題意としてy=v=0は定義されないので)1/yを掛ければ
0<u<1/y=1/v となりvの定義域から1/vの定義域の上限は無限大なので
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結果、-1<v<2、0<uが領域の変換後の回答です。


 

Q不等式の解き方教えてください!

不等式の解き方教えてください!
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わかりやすく、ばらばらにしましょう。

100+Z-0.2×100-0.2×z≧100

つぎにまとめましょう。

(1-0.2)×z+(1-0.2)×100 ≧100

けいさんをすすめましょう

0.8×z+0.8×100≧100

さらにすすめましょう

0.8×z+80≧100

つぎに、りょうほうのしきから80をひいてみましょう

0.8×z+80-80 ≧100-80

ぱずるといっしょですね。

0.8×z ≧20

こんどはりょうほうのしきを0.8でわってみましょう

0.8÷0.8×z ≧20÷0.8

z≧20÷0.8=200÷8=100÷4=50÷2=25

だから・・・

z≧25

となりますね

Qf(x)=1-|x|(-1≦x≦1),0(x<-1,1<x)

f(x)=1-|x|(-1≦x≦1),0(x<-1,1<x)

また、g(x)=∫0から1 f(t-x) dt とする。

このときy=g(x)のグラフがどうしても描けません。
g(1)=1/2であることは求めることができたのですが、ここからどうしていいかわかりません。

どなたか解説お願いします。

Aベストアンサー

こんばんわ。

少し形を変えれば、わかりやすくなるかもしれませんね。

その前に、y= f(x)のグラフは描いておく方がよいですね。

t- x= uと置換することを考えます。
すると、
g(x)= ∫[-x → 1-x] f(u)du

と変形できます。
この積分の式をよく考えると、-x≦ u≦ 1-xという「幅が 1」の区間が xの値に応じて動くことになります。
この区間が -1≦ u≦ 1と重なる様子を考えてみてください。


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