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はじめまして。
次の積分方程式の解き方を教えてください。
ちなみにフーリエ変換のところで出てきた問題です

∫f(x)cosuxdx= 1 (0≦x<1) , 0 (x>1)

                   (f(x)を求めよ)
よろしくお願いします。

A 回答 (2件)

問題をきちんと書いてないようです。

いけませんねえ。
想像するに、たとえば、
G(u)=∫f(x)cos(ux) dx
ただしx,uは実数で、積分はx=-∞~∞の範囲の定積分。
f(x)は実数から複素数への関数であって、
∀u(0≦u<1 ⇒ G(u)= 1)
∀u(u>1 ⇒ G(u) = 0)
である。
という問題じゃないでしょうか?

そうだとすれば、おおざっぱには以下のようにして解けます。(うるさいことを言えば、fがどんなクラスの関数なのか、とか議論しなきゃいけないんですが、それはさておき。)

 まず、∀u(cos(ux) = cos(-ux))ですから、
∀u(|u|<1 ⇒ G(u)= 1)
∀u(|u|>1 ⇒ G(u) = 0)
であることが分かります。さらに、G(u)の逆フーリエ変換をg(x)と書くと、
g(x) = (1/(2π))∫G(u)exp(iux)du  (積分はu=-∞~∞の範囲)
= (1/(2π))∫cos(ux)du  (積分はu=-1~1の範囲)
= sin(x)/(πx )
です。
 以上の準備をした上で、
f(x) = a(x) + i b(x)  (a,bは実数から実数への関数)
と書くことにしましょう。
f(x)のフーリエ変換をF(u)と書くと、
F(u) = ∫f(x)exp(- iux)dx (積分はx=-∞~∞の範囲の定積分。以下同様)
 = ∫f(x)cos(ux)dx-i ∫f(x)sin(ux)dx
となります。そして、
G(u) =∫f(x)cos(ux)dx
 = ∫a(x)cos(ux)dx+i∫ b(x)cos(ux)dx
ですが、G(u)は実関数なので
∀u(∫ b(x)cos(ux)dx = 0)
従って、bは奇関数∀x(b(x)=-b(-x) )でなくてはなりません。ゆえに
G(u) =∫a(x)cos(ux)dx
です。従って、
a(x) = g(x)+h(x) (hは任意の、実数から実数への奇関数)
である。なぜならhが奇関数なら∀u(∫h(x)cos(ux)dx=0)だからです。
そこで改めて、実数から複素数への関数cを
c(x) = h(x)+ib(x)
と書くことにすれば、cは奇関数なら何でも良い。
ですから、答は
「f(x) = sin(x)/(πx ) + c(x)、ここにcは任意の奇関数。」
ちゅうことになります。

 もしf(x)を実数から実数への関数、と制限するなら、
「f(x) = sin(x)/(πx )+h(x)、ここにhは任意の奇関数」

 さらにf(x)を実数から実数への偶関数、と制限するなら、
「f(x) = sin(x)/(πx )」
が答になります。

 え?問題が違う?それは質問者の責任でしょ。
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右辺ですが、xで定義域を表しているようですが


左辺はxで積分しておりxを含まないため
等式の意味がよくわからないと思います。
cosux=cos(u x)だとすると左辺はuの関数になると思います。

あとは
左辺がフーリエ変換の実部であることから
右辺をフーリエ変換すればよいのでは?
(係数は定義によると思いますが、
 右辺のフーリエ変換の際にその係数を使って
 整合性をとればいいと思います。)

追加:
右辺は0≦xで定義されているようですが、
x<0は関係ないのでしょうか?だとすると
益々uが定義域の変数である可能性が高いと思います。
(cos()が隅関数であるため)
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