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0以上1以下の小数は無限に存在することは証明できますか?

A 回答 (4件)

1で始まり比が 1/2 の等比数列は


0以上1以下に無限個の数を書き並べる一つの
手段になっている。

無限個の異なる数を書き並べる方法が有る以上
無限個あるといえる。
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「小数」という言葉の定義が不明瞭で、嫌な質問だなあ。



とりあえず、「小数」は有限小数の意味だと仮定してみる。
0以上1以下の有限小数全体からなる集合Sを考えると、
Sは実数の全順序が入った有限集合だから、最小値を持つ。
その最小値をbと置き、 c=b/2 としよう。
cはb/2だから有限小数で表せるし、0<c<b<1でもあるから
Sの元である。しかし、c<bなので、これは
bがSの最小値であることに矛盾する。
よって背理法により、Sは有限集合ではない。

「小数」が実は有理数の意味であったり、実数の意味であった
場合にも、「0以上1以下の小数」の集合は上記のSを含むから
無限集合である。
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無限が証明できないので無理

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無限にあるなんらかの集合と


0以上1以下のそれぞれ異なる小数に
1:1の関係がみいだせればよいということです

n∈Z n>1
と 1/n として、
0≼1/n≼1 である
ことを確認するとかが楽そうですね
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