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数学の問題です。回答よろしくお願いします。

sinが無限に続く関数f(X)=sin(sin(sin(sin...sinX)がある。Xが実数のときf(X)の値を求めよ。

A 回答 (3件)

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これは初期値を a[0]としたとき、


 a[n+1]=f(a[n])
で定められる数列の収束問題となる (ここでの fは質問の fとは異な
り、f(x)=sinx である)。

バナッハの不動点定理が使えそうだが、ちょっと足りない気がする。
そこで

1.
定理
 (a) f(a)=aとなるaが唯一つ存在する
 (b) a[0]≧a。f'(x)≧0 (fは単調増加)
 (c) x≧aのときx≧f(x)
をみたすとする。すると数列(a[n])は単調減少でaに収束する。

を使う。

今回、f(x)=sinx なので、|sin(sinx)|<1 なので |x|<1 としてよい。

2. x≧0 のとき(つまり、a[0]≧0)
すると、f(a)=a となる唯一の a=0 が存在する。さらに、a[0]≧0=a、
f'(x)=cosx≧0
また、x≧0 → x≧f(x) も成立。これらは、ほぼ自明なので証明略。

つまり、定理の条件(a)(b)(c)を満たすので、
a[n]は0に収束する。すなわち、質問の fは0に収束する。

3. x≦0 のときも同様な手順で 0に収束することが示せる。略

4. 定理の証明。

まず、平均値の定理と(a)より
 a[n+1]-a=f(a[n])-f(a)=f'(c[n])(a[n]-a)
となる。(b)と帰納法により、∀n(a[n]≧a)がいえる。
上記から a[n]≧aであり、(c)により、
 a[n+1]-a[n]=f(a[n])-a[n]≦0
すなわち、単調減少である。下界aが存在するので収束する。すると
それは
 a=f(a)
を満たすa以外にない。
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x[0] = x


  x[n+1]=sin(x[n])
  f(x) = lim{n→∞} x[n]
と思えばいいんです。xがどんな実数でも
  |sin(x)| ≦ |x|(1-(x^2)/6)
であり、かつ
  |x[1]| ≦1
なので簡単。
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