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数学トリック!間違ってるところを指摘してください。

「問題。sinx+2/sinxの最小値を求めよ。ただし0<x<πとする。」
「解答。0<x<πより、0<sinx、0<2/sinxだから、
相加平均>=相乗作用より
sinx+2/sinx>=2√(sinx・2/sinx)
sinx+2/sinx>=2√2
よって最小値2√2
等号成立は
sinx=2/sinx
(sinx)^2=2、0<x<πより
sinx=√2
アレ!?sinxって0以上1以下じゃないの!?」

A 回答 (3件)

質問文中の考察は、ほぼ正しい。


間違っているのは、「sinx+2/sinx>=2√2」から
「よって最小値2√2」としてしまったところ。

sinx+2/sinx>=2√2 という式は成立するが、
この式からは、0<x<π の範囲のどの x についても
sinx+2/sinx>=2√2 という不等式が成立する
ということでしかない。そこから判るのは、
sinx+2/sinx の最小値が 2√2 であることではなく、
sinx+2/sinx の最小値は 2√2 以上であることだけだ。

sinx+2/sinx=2√2 となる x が存在してはじめて
2√2 が sinx+2/sinx の最小値となる。
そして、あなた自身が言っているとおり
sinx+2/sinx=2√2 となる実数 x は存在しない。

これって、相加相乗平均の関係を使うときの
あるあるだから、注意したほうがいい。
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この回答へのお礼

助かりました

おお!1番納得する回答でした!
ありがとうございました!

お礼日時:2022/09/21 17:11

y=sinx+2/sinx


0<x<π
s=sinx
とすると
y=s+2/s
y'=1-2/s^2=(s^2-2)/s
0<s≦1
0<s^2≦1
-2<s^2-2≦-1
y'<0だからsが増加する時yは減少だから
s=sinx=1の時最小値y=3
だから
x=π/2の時sinx+2/sinxの最小値
3
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数学トリックなのではなく、単に解き方の方針を間違っただけ。



> (sinx)^2=2、0<x<πより
> sinx=√2

ではなく、
(sinx)^2=2、0<x<πより
sinx+2/sinx=2√2を満たすsinxはない、というだけの話。
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