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<テイラー展開>
「f(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-a)^n(ローラン展開の式)より、テイラー展開はnが0と正の範囲でしか展開できないため、
n=0~∞として
f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)(z-a)^nとしてから、
テイラー展開は

↓両辺をn回数微分すると

{(d/dz)^n}f(z-a)=f^(n)(z-a)

f^(n)(z-a)= Σ_{n=0~∞}a(n)(z-a)^n...⑤

f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)(z-a)^n
f(z)=a(0)+a(1)+a(2)z^2+a(3)z^3+a(4)z^4+a(5)z^5+a(6)z^6+a(7)z^7+a(8)z^8+a(9)z^9+…
↓両辺を微分すると(1回目)
f'(z)=a(1)+2a(2)z+3a(3)z^2+4a(4)z^3+5a(5)z^4+6a(6)z^5+7a(7)z^6+8a(8)z^7+9a(9)z^8+…
↓両辺を微分すると(2回目)
f"(z)=2a(2)+3!a(3)z+4*3a(4)z^2+5*4a(5)z^3+6*5a(6)z^4+7*6a(7)z^5+8*7a(8)z^6+9*8a(9)z^7+10

↓両辺を微分すると(n回目)
f^(n)(z-a)=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…(※上に書いた⑤の左辺と一致する。)
↓z=0とすると
f^(n)(a)=n!a(n)
↓両辺をn!で割ると
(1/n!)f^(n)(a)=a(n)

a(n)=(1/n!)f^(n)(a)

=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…
f^(n)(0z)=n!a(n)
↓両辺をn!で割ると
(1/n!)f^(n)(z)=a(n)

a(n)=(1/n!)f^(n)(z)
です

f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)z^n
から
a(n)=(1/n!)f^(n)(a)
を導きこれを
f(x)=Σ_{n=0~∞}a(n)x^n
に代入すると
画像の式になる。


この式a(n)=(1/n!)f^(n)(a)を
f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)(z-a)^nに代入して展開すると
f(z)=f(a)+f'(a)(z-a)+f''(a)/2!(z-a)^2
+ f'''(a)/3!(z-a)^3 +...となる。」


「↓両辺を微分すると(n回目)
f^(n)(z-a)=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)z+{(n+2)!/2}z^2+…(※上に書いた⑤の左辺と一致する。)
↓z=0とすると」
の部分に関して、
なぜz=0としたのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • また、
    f(z)=tan(z)のローラン展開に置いて、
    g(z)=(z-π/2)tan(z)はθ→π/2の時かつn≦2の時、-1に収束するためコーシーの積分定理によりa(n)=0となりますが、n≧-1の時は画像によりa(n)≠0という事で正しいでしょうか?

    「<テイラー展開> 「f(z)=Σ_{n=」の補足画像1
      補足日時:2022/09/21 16:33
  • n≦-2の時かつz→π/2の時g(z)= (z-π/2)tan(z)は-1に収束するため、コーシーね積分定理により
    a(n)=0となる。

    n≧-1の時かつz→π/2の時g(z)= (z-π/2)tan(z)は発散する為、
    a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}となる。
    さらに、nが偶数2kの時a(2k)=0、
    n=2k-1の時それなりの値となる。

      補足日時:2022/09/22 20:34

A 回答 (3件)

g(z)=(z-π/2)tan(z)



θ→π/2ではなく
z→π/2の時-1に収束するのです
n≦2は関係ありません

f(z)=tan(z)

0<|z-π/2|=r<πでのローラン展開を
tan(z)=Σ_{n=-∞~∞}a(n)(z-π/2)^n
とすると
a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-π/2|=r}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz

n≦-2の時
1≦-n-1だから

lim_{z→π/2}tan(z)/(z-π/2)^(n+1)
=lim_{z→π/2}(z-π/2)^(-n-1)tan(z)

n=-2の時
(z-π/2)^(-n-1)tan(z)=(z-π/2)tan(z)は-1に収束し
n<-2の時
(z-π/2)^(-n-1)tan(z)は0に収束し
いずれも正則だから
コーシーの積分定理により
a(n)={1/(2πi)}∫_{|z-π/2|=r}{tan(z)/(z-π/2)^(n+1)}dz=0
となる

n≧-1の時
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
だから
a(-1)=-1
nが偶数2kの時a(2k)=0
n=2k-1の時それなりの値になる
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
なるほど、
n≦-2の時かつz→π/2の時はa(n)=0で、

n≧-1の時かつz→π/2の時は
a(n)={1/(n+1)!}lim_{z→π/2}(d/dz)^(n+1){(z-π/2)tan(z)}
だとわかりました。

お礼日時:2022/09/22 20:29

f(z)がz=aで正則でなければテイラー展開はできません


f(z)のn回微分は
{(d/dz)^n}f(z-a)=f^(n)(z-a)ではありません間違いです
f(z)のn回微分は
{(d/dz)^n}f(z)=f^(n)(z)
です
f^(n)(z-a)= Σ_{n=0~∞}a(n)(z-a)^n...⑤も間違いです
f(z)=a(0)+a(1)+a(2)z^2+a(3)z^3+a(4)z^4+a(5)z^5+a(6)z^6+a(7)z^7+a(8)z^8+a(9)z^9+…
も間違いです
z=0とするのも間違いです
---------------------------------------
f(z)がz=aで正則の時に限り

f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)(z-a)^n
とテイラー展開できて
f(z)=a(0)+a(1)(z-a)+a(2)(z-a)^2+a(3)(z-a)^3+a(4)(z-a)^4+a(5)(z-a)^5+a(6)(z-a)^6+a(7)(z-a)^7+a(8)(z-a)^8+a(9)(z-a)^9+…
↓両辺を微分すると(1回目)
f'(z)=a(1)+2a(2)(z-a)+3a(3)(z-a)^2+4a(4)(z-a)^3+5a(5)(z-a)^4+6a(6)(z-a)^5+7a(7)(z-a)^6+8a(8)(z-a)^7+9a(9)(z-a)^8+…
↓両辺を微分すると(2回目)
f"(z)=2a(2)+3!a(3)(z-a)+4*3a(4)(z-a)^2+5*4a(5)(z-a)^3+6*5a(6)(z-a)^4+7*6a(7)(z-a)^5+8*7a(8)(z-a)^6+9*8a(9)(z-a)^7+…
↓両辺を微分すると(3回目)
f"'(z)=3!a(3)+4!a(4)(z-a)+5*4*3a(5)(z-a)^2+6*5*4a(6)(z-a)^3+7*6*5a(7)(z-a)^4+8*7*6a(8)(z-a)^5+9*8*7a(9)(z-a)^6+…
↓両辺を微分すると(4回目)
f""(z)=4!a(4)+5!a(5)(z-a)+(6!/2)a(6)(z-a)^2+(7!/3!)a(7)(z-a)^3+(8!/4!)a(8)(z-a)^4+(9!/5!)a(9)(z-a)^5+…
↓両辺を微分すると(5回目)
f""'(z)=5!a(5)+6!a(6)(z-a)+(7!/2!)a(7)(z-a)^2+(8!/3!)a(8)(z-a)^3+(9!/4!)a(9)(z-a)^4+…
↓両辺を微分すると(6回目)
f"""(z)=6!a(6)+7!a(7)(z-a)+(8!/2!)a(8)(z-a)^2+(9!/3!)a(9)(z-a)^3+…
↓両辺を微分すると(7回目)
f"""'(z)=7!a(7)+8!a(8)(z-a)+(9!/2!)a(9)(z-a)^2+…

↓両辺を微分すると(n回目)
f^(n)(z)=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)(z-a)+{(n+2)!/2}(z-a)^2+…
↓z=aとすると
f^(n)(a)=n!a(n)
↓両辺をn!で割ると
(1/n!)f^(n)(a)=a(n)

a(n)=(1/n!)f^(n)(a)

↓これをf(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)(z-a)^n に代入すると

f(z)=Σ_{n=0~∞}{(1/n!)f^(n)(a)}(z-a)^n
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
出来れば2022.9.21 16:23の補足の質問にも答えて頂けるとありがたいです。

お礼日時:2022/09/22 18:02

f(z)のn回微分は


{(d/dz)^n}f(z-a)=f^(n)(z-a)ではありません間違いです
f(z)のn回微分は
{(d/dz)^n}f(z)=f^(n)(z)
です
f^(n)(z-a)= Σ_{n=0~∞}a(n)(z-a)^n...⑤も間違いです
f(z)=a(0)+a(1)+a(2)z^2+a(3)z^3+a(4)z^4+a(5)z^5+a(6)z^6+a(7)z^7+a(8)z^8+a(9)z^9+…
も間違いです
z=0とするのも間違いです
---------------------------------------
f(z)がz=aで正則の時に限り

f(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)(z-a)^n
とテイラー展開できて
f(z)=a(0)+a(1)(z-a)+a(2)(z-a)^2+a(3)(z-a)^3+a(4)(z-a)^4+a(5)(z-a)^5+a(6)(z-a)^6+a(7)(z-a)^7+a(8)(z-a)^8+a(9)(z-a)^9+…
↓両辺を微分すると(1回目)
f'(z)=a(1)+2a(2)(z-a)+3a(3)(z-a)^2+4a(4)(z-a)^3+5a(5)(z-a)^4+6a(6)(z-a)^5+7a(7)(z-a)^6+8a(8)(z-a)^7+9a(9)(z-a)^8+…
↓両辺を微分すると(2回目)
f"(z)=2a(2)+3!a(3)(z-a)+4*3a(4)(z-a)^2+5*4a(5)(z-a)^3+6*5a(6)(z-a)^4+7*6a(7)(z-a)^5+8*7a(8)(z-a)^6+9*8a(9)(z-a)^7+…
↓両辺を微分すると(3回目)
f"'(z)=3!a(3)+4!a(4)(z-a)+5*4*3a(5)(z-a)^2+6*5*4a(6)(z-a)^3+7*6*5a(7)(z-a)^4+8*7*6a(8)(z-a)^5+9*8*7a(9)(z-a)^6+…
↓両辺を微分すると(4回目)
f""(z)=4!a(4)+5!a(5)(z-a)+(6!/2)a(6)(z-a)^2+(7!/3!)a(7)(z-a)^3+(8!/4!)a(8)(z-a)^4+(9!/5!)a(9)(z-a)^5+…
↓両辺を微分すると(5回目)
f""'(z)=5!a(5)+6!a(6)(z-a)+(7!/2!)a(7)(z-a)^2+(8!/3!)a(8)(z-a)^3+(9!/4!)a(9)(z-a)^4+…
↓両辺を微分すると(6回目)
f"""(z)=6!a(6)+7!a(7)(z-a)+(8!/2!)a(8)(z-a)^2+(9!/3!)a(9)(z-a)^3+…
↓両辺を微分すると(7回目)
f"""'(z)=7!a(7)+8!a(8)(z-a)+(9!/3!)a(9)(z-a)^2+…

↓両辺を微分すると(n回目)
f^(n)(z)=n!a(n)+(n+1)!a(n+1)(z-a)+{(n+2)!/2}(z-a)^2+…
↓z=aとすると
f^(n)(a)=n!a(n)
↓両辺をn!で割ると
(1/n!)f^(n)(a)=a(n)

a(n)=(1/n!)f^(n)(a)

↓これをf(z)=Σ_{n=0~∞}a(n)(z-a)^n に代入すると

f(z)=Σ_{n=0~∞}{(1/n!)f^(n)(a)}(z-a)^n
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