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(a は定数) Arctan a+x/1-ax 微分の解き方分かる方教えていただきたいです。

A 回答 (3件)

どういう式ですか?



まっとうに「数式の書き方」の原則通りに読めば

[Arctan(a)] + x - ax   ← x/1 = x ですから

ですが。
きっと違うんでしょうね。

だったら

Arctan[(a + x)/(1 - ax)]    ①

[Arctan(a + x)]/(1 - ax)

Arctan(a) + x/(1 - ax)

のどれ?


多分①だと思うので、そうであれば

 y = Arctan[(a + x)/(1 - ax)]

と置いて

 tan(y) = (a + x)/(1 - ax)     ②

より、「商の微分」を使って

 d[tan(y)]/dx = [(1 - ax) + a(a + x)]/(1 - ax)^2
       = (1 + a^2)/(1 - ax)^2       ②

一方
 d[tan(y)]/dx = {d[tan(y)]/dy}(dy/dx) = [1/cos^2(y)](dy/dx)  ③
また、②より
 1/cos^2(y) = [sin^2(y) + cos^2(y)]/cos^2(y)
       = tan^2(y) + 1
       = [(a + x)/(1 - ax)]^2 + 1
       = [(a^2 + 2ax + x^2) + (1 - 2ax + a^2・x^2)]/(1 - ax)^2
       = [(a^2 + 1)x^2 + a^2 + 1]/(1 - ax)^2
       = (a^2 + 1)(x^2 + 1)/(1 - ax)^2     ④
従って、③は
 d[tan(y)]/dx = [(a^2 + 1)(x^2 + 1)/(1 - ax)^2](dy/dx)  ⑤


よって、②⑤より
 [(a^2 + 1)(x^2 + 1)/(1 - ax)^2](dy/dx) = (1 + a^2)/(1 - ax)^2
→ dy/dx = 1/(x^2 + 1)

よって
 {Arctan[(a + x)/(1 - ax)]}' = 1/(x^2 + 1)


(別解)[Arctan(x)]' = 1/(1 + x^2) の公式を知っていれば
t = (a + x)/(1 - ax) とおいて
 d[Arctan(t)]/dx = [1/(1 + t^2)](dt/dx)
から求めてもよいです。
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蛇足.



Arctan [(a+x)/(1-ax)] = Arctan a + Arctan x (+ π のてきとうな整数倍).
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かっこを付けてください。

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