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最近、数学の軌跡の問題を解くために論理学のさわりを学んでいます。そこでy=p(x)の値域Wに関して
W<=> p(x1)vp(x2)vp(x3)v・・・<=>ヨx(y=p(x))
が成り立つ理由がわかりません。
一つ目の同値関係は、具体的なxに対応する値yを集めたものが値域だ、と言うことだと理解しています。
ここで二つ目の同値関係はなぜ成り立つのでしょうか。「具体的な値yをかき集めた集合」が「xが存在するようなyの集合」に一致する理由がわかりません。
論理的な説明でも、直感的な説明でも、回答していただけたら幸いです。

質問者からの補足コメント

  • すみません勘違いをしておりました。
    W<=>{p(x1)、p(x2)・・・}<=>{y|ヨx(y=p(x))}
    のことでした。この第二式と第三式の中かっこの中身が一致する理由がわかりません。
    二度手間をかけて申し訳ありませんが、ご回答お待ちしております。

      補足日時:2022/10/02 21:17
  • なるほど。「さわり」と言う言葉は浄瑠璃で使われた一説に由来するようで、「一番の聞きどころ」から転じてそのような意味になったのですね。文化庁によると53.3%の人が誤用しているようです。とても良い勉強になりました。
    私はまだ高校生になったばかりで勉強もまだ暗中模索の状態です。ですが、回答者様のような人々の力をかりて自分を磨いていこうと頑張っています。
    本日は貴重な時間をかけてくださりありがとうございました。

    No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時:2022/10/02 23:49

A 回答 (5件)

論理学の用語を使おうとして(返って失敗して)いるだけで数学の話ですね。



X={x1,x2,...}, p:X→Y を写像とし、Yの部分集合W={p(x1),p(x2),...}をXのpによる像(値域) 、とします
(うるさくいえば、Xの元に番号をつけられるのか、とかいうことはあるのですが、そこはいいことにします)。

Yの元yについて y∈W とは、「yがどれかのp(xi)と等しい」ということで、これは「y=p(x)となる x∈X が(yに応じて少なくとも1つ)ある」ということと同じです(以下、(yに応じて少なくとも1つ)は長いので省略します)。

なぜなら、Yの元yについて「yがどれかのp(xi)と等しい」なら、x=xiとすれば、「y=p(x)となる x∈X がある」ことになりますし、
Yの元yが「y=p(x)となる x∈X がある」のであれば、そのxは何かxiと書けるのですから、y=p(xi)であり、これは、「yがどれかのp(xi)と等しい」ということです。

値域をXの視点から見ればXがpで行った先、つまり、{p(x1),p(x2),...}(普通は、{p(x)|x∈X}と書きます)となるし、
Yの視点から見れば 何かpの元ネタがあるような集合 {y|y=p(x)となるx∈Xがある} となる、ということです。
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この回答へのお礼

解決しました

なるほど!!
yが値域に入るためにはp(x1) p(x2) ・・・の内どれかと一致する必要がある。すなわち、y=p(x)なるxがX内に存在する、と言うことなのですね。とても理解できました!!
回答してくださった皆さんありがとうございました!

お礼日時:2022/10/04 07:20

集合Xから集合Yへの写像を


p:X→Y
とする

Xを写像pの定義域という

p(X)={p(x)|x∈X}={y∈Y|ヨx∈X(y=p(x))}

写像pの値域という
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集合AとBが等しいとは、


A ⊆ B かつ B ⊆ A
です。
また、 A ⊆ B とは
全てAの要素はBの要素である ∀x(x ∈ A → x ∈ B)
ということです。


y1 = p(x1), y2=p(x2) ....
として、
y1 ∈ {y|ヨx(y=p(x))} でしょうか? y1 ∉ {y|ヨx(y=p(x))} でしょうか?
y2 ∈ {y|ヨx(y=p(x))} でしょうか? y2 ∉ {y|ヨx(y=p(x))} でしょうか?
以下全ての yn∈ {p(x1)、p(x2)・・・} について
yn ∈ {y|ヨx(y=p(x))} でしょうか? yn ∉ {y|ヨx(y=p(x))} でしょうか?


逆に
ヨx(y=p(x)) が成り立つような x はどうなると思いますか?
そのときのyの値は?
このとき y ∈ {p(x1)、p(x2)・・・} でしょうか? y1 ∉ {p(x1)、p(x2)・・・} でしょうか?
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「さわり」ってのは「一番いいところ」って意味です。

よく意味がわかってないものを振り回したってダメですよ。同様に、「軌跡」だの「y=p(x)」だの「値域」だの「<=>」だの「ヨx(y=p(x))」だの「式」だの「{p(x1)、p(x2)・・・}」だの「{y|ヨx(y=p(x))}」だののうち、意味が確かにわかっていて使っているものは、ひとつもなさそうです。
この回答への補足あり
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「p(x1)vp(x2)vp(x3)v・・・」ってどういう意味なの? 「p(x1)」とかは何か (例えば整数とか実数とか) の値だ

よね? それを「v」で繋ぐというのはどのように定義している?
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