私は高校生で、まだ微積分を習っていませんが、微積分を使えれば運動方程式だけで力学の問題が全て解けると聞いたのですが本当でしょうか。

また他の単元でもそれぞれ一つの公式で全ての問題が解けるらしいのですが、それぞれどの公式でしょうか。教えてください。

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A 回答 (3件)

初期条件と境界条件が正確に記述されれば古典力学の問題は


・万有引力
・運動方程式
・作用反作用
ですべて解けます
解析的に解けなければ数値計算でいいのです
むしろ例外的に解析的に解けるということでしょう

現実には境界条件と初期条件を正確に与えることは難しく
わけのわからない力も存在しますから近似でそれらの条件を与えることになります
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>微積分を使えれば運動方程式だけで力学の問題が全て解けると



これは逆で,物理的な取扱をする場合には
まず微分方程式を立てることが出発点になる,と言えましょうか.
微小な領域での,ごく短時間の現象を微分方程式で表現し,
それを解くことで,マクロな領域の現象を説明する,と言う,
現代の物理の進め方のひとつの手法と言えます.

むかしむかしには,現在の全てのパラメータを把握すれば,
この世の終焉までの現象が全て微分方程式を解くことで導出出来ると言う
「思想」がありました.この考え方量子力学の出現によって,
否定されなければなりません.

でもやかましいことを言わなければ,
ある程度までならば予測は可能です.
そうでなければ惑星探査機は,計算通りに太陽系を脱出できるなんてことは
到底できなかったでしょうから.

で,この後に問題があって,
・この微分方程式は解けるのか?
・未知のパラメータを全て含められる訳ではないので,
 実際に現実世界をどの程度正確に表現しているのか?
・確率的な取扱しか出来ない現象もあるがこれをどう表現し解釈するか.
・微小領域の現象をマクロに拡大して良いのか.
と言うことを考える必要があります.この辺が研究者の腕の見せ所でしょう.

>それぞれ一つの公式で全ての問題が解けるらしいのですが

これの極みが,人類の夢(目標)のひとつである「大統一理論」の構築で,
これが完成すると,物理現象の全てがひとつの理論にまとめられることになります.
(勿論,人類がまだ認識していない物理現象もあるでしょうから,
 言い方には注意しなければなりませんね...)
そうなると,基本方程式はひとつとは言わずとも,
一組の方程式群となることでしょう.
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>微積分を使えれば運動方程式だけで力学の問題が全て解ける


世の中そんなに甘くできていればれば誰も苦労しませんね(笑い)。確かにニュートンの運動方程式は時々刻々の物体の変化を記述する微分方程式で記述することができますが、この微分方程式を解くとなると一筋縄ではいかない。非常に理想化した(例えば摩擦力や抵抗力を一切考えないとか、、、)力学系では微分方程式も容易に解けるケースが多いですが、例えば3体が互いに引力で引き合っている系では途端にスッキリと解けない。数値計算といって近似解を求めていくやり方となります。尤も、”概念的”には運動の記述→微分方程式を立てる→初期条件(境界条件)の下で微分方程式を解く(積分する)という流れで運動は一意的にもとめることができるということはいえます。つまり,ニュートンの運動方程式は初期条件さえ決めてやれば原理的に未来の運動を求めることができるということですね。

>また他の単元でもそれぞれ一つの公式で全ての問題が解けるらしいのですが、それぞれどの公式でしょうか

あれば是非私も知りたい。。。
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