複雑な三角関数の周期の求め方

y = 5 sin 2x + 3 sin 3x + 4 sin 5x

のような、複雑な三角関数の周期は、どうやって求められるのでしょうか。
エクセルでグラフを描いてみました。
(x: 0°～720°)

sin 2xの周期は2π/2=π、
sin 3xの周期は2π/3、
sin 5xの周期は2π/5
というのは分かりますが、それらを足した場合どう考えればよいのか分かりません。
グラフから、2π(=360°)が周期っぽいですが、数学的にどうしてそれが言えるのでしょうか。
よろしくお願いいたします。

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2022/10/04 18:16

y = 5sin(2x) + 3sin(3x) + 4sin(5x)

まず、x=0 のとき
　y=0
になることが分かります。
また、2x, 3x, 5x の最大公約数である x が、任意の整数 m を用いて
　x = 2mπ
のときにも
　y=0
になることが分かります。

グラフからも 360° = 2π が周期であると読み取れますね。


式の上からも

5sin(2x) = 10sin(x)cos(x)

3sin(3x) = 3sin(x + 2x)
= 3[sin(x)cos(2x) + cos(x)sin(2x)]
= 3[sin(x)cos(2x) + cos(x)･2sin(x)cos(x)]
= 3[sin(x)cos(2x) + 2cos^2(x)sin(x)]
= 3[cos(2x) + 2cos^2(x)]sin(x)

4sin(5x) = 4sin(x + 4x)
= 4[sin(x)cos(4x) + cos(x)sin(4x)]
= 4[sin(x)cos(4x) + cos(x)･2sin(2x)cos(2x)]
= 4[sin(x)cos(4x) + 2cos(x)･2sin(x)cos(x)cos(2x)]
= 4[sin(x)cos(4x) + 4cos^2(x)cos(2x)sin(x)]
= 4[cos(4x) + 4cos^2(x)cos(2x)]sin(x)

であることから
　y = [f(x) + g(x) + h(x)]sin(x)
　ここで
　　f(x) = 10cos(x)
　　g(x) = 3[cos(2x) + 2cos^2(x)]
　　h(x) = 4[cos(4x) + 4cos^2(x)cos(2x)]
と書けることがわかります。
[f(x) + g(x) + h(x)] がどのような周期をもつのかは分かりませんが、少なくともそれを「振幅」にもつ「sin(x)」の関数であることは確かです。
「sin(x)」の周期は「2π」ですから、y は「周期 2π の周期関数」であることになります。

この回答へのお礼

yhr2さん、ありがとうございます。見事に数式で導かれましたね。流れるようです。じっくり見て、理解しておこうと思います。ありがとうございました。

お礼日時：2022/10/05 06:04

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/10/04 19:51

今回のような sin(ax) の一次結合だと、

各 sin(ax) の基本周期 2π/a の最小公倍数が
y の基本周期になることが解りますが、
一般に複雑な関数 f(,,) を持ってきて
y = f(sin 2x,sin 3x,sin 5x) の周期なんて
簡単には判りません。
必要条件で絞り込んだらどうですかね。
g(x) が周期 T を持つならば、g(x) = g(x+T) が成り立ちます。
何か適当な x をいくつかこの式へ代入して
T の方程式として解けば、周期の候補が限定できます。
今回の例であれば、x = 0 の 1個だけで十分でしょう。

この回答へのお礼

>各 sin(ax) の基本周期 2π/a の最小公倍数が
y の基本周期になる
>一般に…y = f(sin 2x,sin 3x,sin 5x) の周期なんて
簡単には判りません。

なるほど、簡単には分からないのですね。

>g(x) = g(x+T) …今回の例であれば、x = 0 の 1個だけで十分でしょう。

この方法でいくのが王道なのでしょうかね。ありがとうございました。

お礼日時：2022/10/05 06:13