スプライン補間

x=[-1,0,1,2],y=[0,1,0,0]のデータで
区間x=0～1　をスプライン補間で計算させています。

MuPAD　でcubicSplineを用いた場合と
C言語によるアルゴリズム辞典から作ったソフトでは計算結果が
微妙に異なります。

どちらが３次スプライン補間として正しいのかお教え願えないでしょうか？
あるいはどちらも正しいとして、スプラインの種別が違うのでしょうか？

非常に漠然としていますが、よろしくお願いします。

「自分のツールだとこういう結果だった」というようなアドバイスでも大歓迎です。


Ｘ　　　　　　ＭｕＰＡＤ　　　　　　　　Ｃ言語によるアルゴ

０　　　　　　１　　　　　　　　　　　　１
０．１２５　　０．９２２８５１５６３　　０．９４８８２８１
０．２５　　　０．８２０３１２５　　　　０．８５３１２５
０．３７５　　０．６９８２４２１８８　　０．７２４６０９４
０．５　　　　０．５６２５　　　　　　　０．５７５
０．６２５　　０．４１８９４５３１３　　０．４１６０１５６
０．７５　　　０．２７３４３７５　　　　０．２５９３７５
０．８７５　　０．１３１８３５９３８　　０．１１６７９６９

No.2 ベストアンサー 回答者： shkwta 回答日時： 2005/04/09 19:23

x=[-1,0,1,2],y=[0,1,0,0]

この３次スプライン補間を、次のように定義し計算しました。
　(1)３次式で、節点での関数値はすべて一致
　(2)２回微分可能で、導関数、２次導関数が連続
　(3)両端 x=-1, x=2 で２次導関数が0

「'」は導関数、「"」は二次導関数です。

f1(-1)=0, f1(0)=1;　f2(0)=1, f2(1)=0;　f3(1)=0, f3(2)=0
f1'(0)=f2'(0);　f2'(1)=f3'(1)
f1"(-1)=0;　f1"(0)=f2"(0);　f2"(1)=f3"(1);　f3"(2)=0

これを解くと、条件を満たす３次式f1,f2,f3は一組だけ存在し、

f1(x) = -0.6 x^3 - 1.8 x^2 - 0.2 x + 1
f2(x) = x^3 - 1.8 x^2 - 0.2 x + 1
f3(x) = -0.4 x^3 + 2.4 x^2 - 4.4 x + 2.4

区間[-1,0],[0,1],[1,2] にそれぞれf1,f2,f3を当てはめてつなぐと、２回連続微分可能な３次スプライン補間が得られます。

f2(x)の[0,1]での値は次のようになります。ご質問の「C言語によるアルゴ」に一致しているようです。ご所望のスプライン補間が、上記の定義と異なる場合は補足してください。

f2(0/8)=1
f2(1/8)=0.948828125
f2(2/8)=0.853125
f2(3/8)=0.724609375
f2(4/8)=0.575
f2(5/8)=0.416015625
f2(6/8)=0.259375
f2(7/8)=0.116796875
f2(8/8)=0

この回答への補足

補足します。

MuPADのcubicSplineの計算結果は、この４点を通る３次多項式と一致しているようです。

そのようなこともあるのかな？と思いましたが、３次スプライン補間の定義を考えると、なんとなく釈然としません。

補足日時：2005/04/11 09:51

この回答へのお礼

大変明確な回答をありがとうございます。

私もただ今、他のアルゴリズム参考書で３次スプラインを検算させようとしています。
ただ、相当時間が掛かりそうですので、まずはお礼をのべておきます。
他にも情報があればお願いいたします。

お礼日時：2005/04/11 09:42

No.1 回答者： FM-8 回答日時： 2005/04/08 22:56

スプラインというのは，とびとびの点に対して，

滑らかにつながる曲線を補完する方法ですよね．

私の記憶では，
「指定された点をすべて通るもの」
と
「指定された点を必ずしも通らない」
いろいろなスプラインがあります．

どちらのものか忘れましたが，「Bスプライン」というものがあります．


3次スプラインといえども，この２つはあると思います．

その点はよろしいでしょうか?

いろいろなスプラインがあるので，
市販のライブラリとの違いを論じる場合に，

あなたが，アルゴリズムのコード化に失敗しているのか，もともとねらっている式が違うのかをまずは，
判断する必要があります．

どのような補完をお望みですか?

それは，3次式でよいのですか?

二次式ではだめなのですか?

お望みの補完方法を明らかにした方が良い回答が得られると思います．

この回答へのお礼

早速の回答ありがとうございます。

今回は各点を通る事が大前提ですのでB-スプラインではないです。

次数は３次、始点・終点の境界条件は「自然条件」と呼ばれるもので２次微分係数は0です。

Cのコードは上記にあるように、間違ってはなさそうです。

お礼日時：2005/04/11 09:46