(二次関数の最大と最小)
y=x^2+2bx+6+2bの最小値が最大値になるときb=□のときで、その値は,□である。

私がわからないのは問題文の「最小値が最大値になる」という問題の意味がわかりません。

(三角比)
1/1+tan^2θ(1/1-sinθ+1/1+sinθ)の値を求めよ

自分はまず1/1+tan^2θをcos^2θに直しこれを1-sin^2θにしたのですが答えが出ませんでした。どういうふうに変形すればいいのでしょうか?

A 回答 (5件)

1つ目は皆さんが答えているので2つ目を。



1/(1+tan^2θ)をcos^2θに直すのは正解です。
次に

1/(1-sinθ)+1/(1+sinθ)を通分してください。

((1+sinθ)+(1-sinθ)) / (1-sinθ)(1+sinθ)

=2 / (1-sin^2θ)

=2 / cos^2θ

となりますよね。
後は掛け合わせれば終わりです。
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まず(X+b)^2-b^2+2b+6にして、それから切片だけを変形すると-(b-1)^2+5になるのでグラフを書くとb=1のときに最大値になります。

だからb=1のときの答えだと思います!!!!!!
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<最初のほうについて>


変数bの値によってはYのとりうる絶対値が変化します。
与えられた数式は最小値を持つ2次式なので、その最小値が、bの値によって増減します。
これが、「最小値が最大値になる」ということだと思いますが、ちょっと表現が変ですよね。
「最小値が最大になる」のほうが理解しやすいと思います。

こんなところで。(^^)/~~~
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最初のほうはy=・・・の最小値はbによって変化する.子の最大を求めよというものだと思います.解答のヒントは



y=(x+b)^2-b^2+2b+6
=(x+b)^2-(b-1)^2+7

です.あとはご自身で,

二番目のほうですが,

(1/(1+tan^2θ))*(1/(1-sinθ)+1/(1+sinθ))
なのか
1/(1+tan^2θ*(1/(1-sinθ)+1/(1+sinθ))
なのか
(1/1)+tan^2θ*((1/1)-sinθ+(1/1)+sinθ)
なのか,よくわかりません.補足をお願いします.

この回答への補足

すみません(1/(1+tan^2θ))*(1/(1-sinθ)+1/(1+sinθ))です

補足日時:2005/04/08 19:04
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三角比は1/1+tan^2Θを1-sin^2ΘにしてsinΘの式にしたら後は


括弧の中を通分して計算したらいかがでしょうか?
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Q中学数学の一次関数と二次関数

中学数学の一次関数や二次関数によってつくられる図形の面積をさっと出せるやり方はないですか?

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それは二次関数によってつくられる図形ではないね。単なる三角形の面積です。

このような、一つの頂点が原点である三角形の面積を求める問題に限って言えば、
高校で習う「ベクトル」を用いると、3点O(0,0)、A(a,b)、B(c,d)からなる三角形の面積Sは、

   S=(1/2)|ad-bc|

となります。(注:ad-bcをはさんでいる| |というのは絶対値記号です)

これは、一つの頂点が原点である場合に限って使える公式です。どの頂点も原点にない場合は
この公式は使えません。「ベクトル」の概念が判っていれば、この公式を応用して使えますが、
それはまだ無理でしょ。

このSの式の意味が判るようであれば、使ったら?

Q1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少

1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少数第7位まで求めよという問題なのですが,
1+x=yと置き換えて考えたのですけれど、躓きました。お力をお貸しください。

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他の方も書かれていますが、問題文が意味不明です。書かれていることをよく確認しましょう。

「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少数第7位まで求めよ」
とありますが、「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1」はあくまでも方程式であり、関数ではないので最大とか最小という議論にはなりません。お返事の内容から想像すると、
「方程式1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の実数解を少数第7位まで求めよ」
という趣旨だと解釈しますが、それでよいですか?最大最小という議論をするのであれば、
「関数1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3の[0,1]における最小値を求めよ」
という感じになるはずですからね。

さて、置き換えを使ってもあんまり簡単にならないので、そのまま分母を払って整理すると、
「x^3+2x^2-2=0の実数解を少数第7位まで求めよ」
という感じになりますが、これは[0,1]に実数解をひとつ、さらに虚解がふたつあることは容易に分かります。で、その解ですが、カルダノの公式を使えば、
「3x=-2+(19-3√33)^{1/3}+(19+3√33)^{1/3}」
であることは容易に分かります。ただ、この値を手計算で少数第7位まで計算するのはやはり困難なので、近似計算を手計算するのであれば、ニュートン法あたりを使うのがオーソドックスでしょう。ちなみに、このxを20桁精度で計算すると、
「x=0.83928675521416113255…」
になります。

以下、ニュートン法。f(x)=x^3+2x^2-2とおいて、(x_n,f(x_n))で接線を引き、x軸との交点をx_{n+1}とおいてみましょう。そうすると簡単な計算から、
「x_{n+1}=2(x_n^3+x_n^2+1)/(3x_n^2+4x_n)」
となることが分かります。x_1=1からスタートすれば、x_nは解の近似を与えるから順番に計算していきます。そうすると、
「x_2=6/7=0.8…」
「x_3=811/966=0.839…」
「x_4=2070198913/2466616761=0.839286…」
「x_5=6263804199613897189499314834/7463246811294598892464483629=0.83928675521416…」
となるようですね。しかしニュートン法使ったところで、x_4辺りが手計算の限界のようには感じますが、これでも少数第6位ぐらいまでしか合わないみたいですね。ちなみに精度はステップをひとつ上げると桁数が倍になるぐらいの感じです。

他の方も書かれていますが、問題文が意味不明です。書かれていることをよく確認しましょう。

「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の最小値を少数第7位まで求めよ」
とありますが、「1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1」はあくまでも方程式であり、関数ではないので最大とか最小という議論にはなりません。お返事の内容から想像すると、
「方程式1/(1+x)+1/(1+x)^2+1/(1+x)^3=1の実数解を少数第7位まで求めよ」
という趣旨だと解釈しますが、それでよいですか?最大最小という議論をするのであれば、
「関数1/(1+x)+1/(1...続きを読む

Q中学レベルの二次関数

ある3点を通る二次関数は、一つしかないでしょうか?

Aベストアンサー

2次関数は
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つまり、a,b,cが1組だけ決まりますので、
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Qx+y=u、xy=vとする。x^2+xy+y^2=1の最大値と最小値を

x+y=u、xy=vとする。x^2+xy+y^2=1の最大値と最小値を求めなさい。
という問題です。出来るだけ詳しい回答をお願いします。

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x^2+xy+y^2=1をu,vで書きなおすと
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uをいくら多いくしても小さくしても(1)の関係さえ成り立ってればよいのではないか、
従ってuの最大値は∞、最小値は-∞と考えたくなりますが
一つ条件を忘れています。
それはx,yが実数であるということです。
x,yを解とする2次方程式は
t^2-(x+y)t+xy=0
よって
t~2-ut+v=0
これが実解を持つ条件は判別式Dが
D=u^2-4v≧0

v≦u^2/4 (2)

u,v平面に(1),(2)のグラフを描いてみると
結局放物線(1)の(2)より下の部分(交点もOK)
であることが解ります。
最大値は交点の正の方、最小値は負の方ということで
uの最大値は2√3/3、最小値は-2√3/3

さらにこのようなx,yが存在することを確認することが必要です。
u=2√3/3のときx=y=√3/3,u=-2√3/3のときx=y=-√3/3
よってOKです。

Q中学の二次関数の問題の解き方、教えてください*

二次関数の問題です。

2a×2a-12a+9=0    

解き方を教えて下さい。お願いします*(^0^)*

Aベストアンサー

まず、2a*2a=4^a(4かけるaの二乗ってことです)
ですので、4^a-12a+9=0のaの二次方程式をとくわけです。

旧課程では、因数分解を用いて、
4^a-12a+9=(2a-3)^2=0
⇔a=3/2(重解)

もしくは、解の公式を用いて、
a={12±√(144-144)}/8
=3/2

新課程では、すこし忘れましたが。たしか、、、
4a^2-12a+9=4(a^2-3a+9/4)=0
⇔a^2-3a+9/4=0
⇔(a-3/2)^2-9/4+9/4=0
⇔(a-3/2)^2=0
⇔a=3/2(重解)

という二通り書いてみました。

中学生の二次関数は、原点を通る関数しかやらなかったような気がしますので、aについて解けという問いとみなしました。

もしグラフを書くなら、y=4(a-3/2)^2まで書けば習っていればわかるとおもいます。(習っていなかったら無視してください。)

Qx^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値

x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値を求める問題です…
解説お願いします(T-T)

Aベストアンサー

1) x-2y=k とおき、x^2+2xy+4y^2=9 に代入して、xまたはyを消去します。
  ここでは 2y=x-k として xを消去します。
   x^2+x(x-k)+(x-k)^2=9
  ⇔3x^2-3kx+k^2-9=0  ・・・・★

2) 「x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値を求める問題」は
  「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つときのkの最大値・最小値を求める問題」
と同じです。
  ですので、1)で得たxの2次方程式が実数解をもつことが「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つこと」と同値です。
  従って、2次方程式★の判別式から
   9k^2-12(k^2-9)≧0
  ⇔k^2≦36
  ∴-6≦k≦6
となります。
 ここから 最大値 6、最小値-6を得ます。

3) 最大・最小となるx、yの値を求めます。
  k=±6 のとき 式★の2次方程式は (x干3)^2=0 となりますので、その解は x=±3 となります。(複号同順)
 また、yの値は k=±6, x=±3 のとき y=(x-k)/2=±(3-6)/2=干3/2 となります。(複号同順)

 従って、最大値は(x,y)=(3,-3/2)のとき 6 で、最小値は(x,y)=(-3,3/2)のとき -6 となります。

1) x-2y=k とおき、x^2+2xy+4y^2=9 に代入して、xまたはyを消去します。
  ここでは 2y=x-k として xを消去します。
   x^2+x(x-k)+(x-k)^2=9
  ⇔3x^2-3kx+k^2-9=0  ・・・・★

2) 「x^2+2xy+4y^2=9を満たし、その時のx-2yの最大値と最小値を求める問題」は
  「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つときのkの最大値・最小値を求める問題」
と同じです。
  ですので、1)で得たxの2次方程式が実数解をもつことが「曲線x^2+2xy+4y^2=9と直線x-2y=kが共有点を持つこと」と同値です。...続きを読む

Q中学数学を教えてください!!!! (二次関数)

この問題の問1だけでいいので、詳しい解説をお願いします。

この問題の解説が、よくわからなくてですね...。

Aベストアンサー

点A(4, 16a)
点B(-4, 16a)
AB = 8
点Cのx座標=-4
AB = BCより、点Cのy座標=16a-8
点C(-4, 16a-8)
点D(4, 16a-8)
点E(-x, 16a-8)または(-x, ax^2)
点F(x, 16a-8)または(x, ax^2)
ただし、x>0
CD=8よりEF=4
2x=4よりx=2
点E(-2, 4a)
16a-8=4a
12a=8
a=2/3

Q「(5x+3)^10でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値」と「x+y=1を満たす全x,yに対してax^2+2bxy+by^2

こんにちは。識者の皆様、宜しくお願い致します。

[問1] (5x+3)^10の展開式でx^pとx^(p+1)の係数比が21:20になる時のpの値を求めよ。
[問2]x+y=1を満たす全てのx,yに対して
ax^2+2bxy+by^2+cx+y+2=0が成立するように定数a,b,cの値を定めよ。

[1の解]
(5x+3)^10=10Σk=0[(10-k)Ck 5x^(10-k)3^k]なので
p=10-kの時(k=10-pの時)
p+1=10-kの時(k=9-pの時)より
a:b=pC(10-p) 5^p 3^(10-p):(1+p)C(9-p) 5^(1+p) 3^(9-p)
で 1/(10-p):(1+p)/(2p-8)/(2p-9)=7:4 から
23p^3-199p+218=0
となったのですがこれを解いてもp=6(予想される解)が出ません。
やり方が違うのでしょうか?

[2の解]
与式をx+yという対称式で表せばならないと思います(多分)。
どうすれば対称式で表せるのでしょうか?

Aベストアンサー

 (1)Cをばらして比を簡略化するところで計算間違いがありそうな気がします。その経過をもう少し詳しく書いてもらえませんか?
 (2)a,b,cを求めるにはまず、x+y=1 を満たすすべての(x,y)で成り立つのですから、x+y=1を満たす(x,y)をまず代入してみてはどうでしょうか。候補としては、(1,0)(0,1)(2,-1)など。
 それから計算されたa,b,c でx+y=1を満たすすべてのx,yで成り立つかどうかを確認するという手順でどうでしょうか?

Q中学の二次関数です

グラフ上で 放物線 y=1/2x^2 と直線ア y=ax+b が2点A,Bで交わっています。点Aのx座標は-1、点Bのx座標は正。点Cは直線アとy軸との交点。点Cを通り線分OAに平行な直線とx軸との交点を点Dとする。点Dのx座標をaとし、三角形AOCの面積をaの式で表したいのですが、
このとき点Aの座標は(-1,1/2)
三角形AOCと三角形DCOは一辺とその両端の角が等しいから、合同かと思うのですが、その後がわかりません。
直線アの式は、y=1/2x+1だと思うのですが、これも合っているかわかりません。わかりやすく教えていただけますか。

Aベストアンサー

意見が割れているようですが、アの式のaとD点のaが同じと仮定します。

△AOCの面積ですから、
三角形の面積なので、底辺×高さ×1/2をすればよいわけです。
この場合、底辺はCOであることが予想されます。

Oの座標は勿論(0,0)なので、Cの座標が求まればCOは求まります。
Cの座標はx=0なので、yは(ア)の式の切片に相当します。
(ア)の式はy=ax+bで、A(-1,1/2)を通っているので、
1/2=-a+bより
b=a+1/2
したがって、Cの座標は(0,a+1/2)となります。
ですので、COは、Cのy座標-Oのy座標なので、
(a+1/2)-0=a+1/2

また、この三角形の高さはAからCOに垂直におろした線です。つまりこれは、1であることが分かります。

以上より
CO×高さ×1/2
=(a+1/2)×1×1/2
=(1/2)a+1/4

QF_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} の因数分解

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^2)

のようなのですが、(b+c)(c+a)(a+b)を因数に持つことは分かりますが、残りの因数はどうやってもとめるのでしょうか?

一文字を変数と見て、地道に割り算するしかないのでしょうか?
効率的な計算方法はありますでしょうか?

F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} 
(n=1,2,3,4,5)
を因数分解せよ、という問題なのですが、どすればよいのでしょうか?

なお、答えは、

F_1=3(b+c)(c+a)(a+b)
F_2=5(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^2+Σab)
F_3=7(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^4+2Σa^3 b+3Σa^2 b^2+5Σa^2 bc)
F_4=3(b+c)(c+a)(a+b)(3Σa^6+9Σa^5 b+19Σa^4 b^2+35Σa^4 bc+23Σa^3 b^3+63Σa^3 b^2 c)
F_5=11(b+c)(c+a)(a+b)(Σa^8+4Σa^7 b+11Σa^6 b^2+21Σa^6 bc+9Σa^5 b^3+54Σa^5 b^2 c+23Σa^4 b^4+84Σa^4 b^3 c+123Σa^4 b^2 c^2+159Σa^3 b^3 c^...続きを読む

Aベストアンサー

最後までは計算していませんが、次の方法でできそうです。
F_n = (b+c)(c+a)(a+b)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) とおきます。
(ここで、A+B+C = 2n+1 です。)
展開すると、F_n = (a^2 b + 略 + 2abc)(Σ[ABC] k_ABC a^A b^B c^C) です。
そして、F_n を例えば、a で A+2 回偏微分、a で B+1 回偏微分、
a で C 回偏微分、した後、a,b,c に 0 を代入します。
F_n=(a+b+c)^(2n+1)-{a^(2n+1)+b^(2n+1)+c^(2n+1)} に対しても同じようにします。
このようにすると、例えば C > 0 であれば、
k_ABC (A+2)!(B+1)!(C)! = (2n+1)! となり、係数が得られます。


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