以前、
(1)底辺の一辺が8cmの正三角柱がある。この三角柱を、底面に対して45度の角度で切断したとき、最大の切断面の面積はいくらか。

答えは【16√6】だそうです。

という質問がありましたが、私も算定しようとしましたが、できませんでした。直感的には断面積は16√6から32√3の間で16√6は最小値のような気がします。
私は、三点、(8sinθ,8cosθ,z1)、{8sin(θ+2/3π),8cos(θ+2/3π),z2}、{8sin(θ-2/3π),8cos(θ-2/3π),z3}、がx+y+√2z=0に乗るとしてz1,2,3を求めて、内積から面積を求めようとして挫折しました。
どのように求めるのでしょうか?

A 回答 (6件)

#1で回答した者です。

補足です。

問題に最大値は?とありますが、
切断する平面が三角柱の底面や上面を含まない場合が最大です。
含む場合は、底面三角形(面積16√3)よりも小さい図形を射影することになるので、底面三角形が全て射影されるときが最大となります。
よって、底面を含まない(底面と上面を含まない)ときは、正三角柱と切断する平面がどのような位置であっても、面積は√2倍だけ大きくなると言う事です。
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この回答へのお礼

最大値の意味を勘違いしておりました。加えて、√2倍の図を描く時に作図ミスをしていました。

お礼日時:2005/04/08 20:36

自信ありませんし、途中までしかわからず、これで出来るかどうかもわかりませんが。



原点、(x1,y1)、(x2,y2)の3点で出来る三角形の面積って、
1/2*|x1y2-x2y1|
じゃないでしょうか? ここからして間違っているかも知れませんが。

正三角柱の一つの角を原点、辺をx軸に合わせた状態から原点を中心に回転(θ)させていったときの原点以外の2点はθで表すことが出来ると思います。
その2点がxy平面をx軸を軸としてyが正の方が高くなるように45°回転させた平面に投影されたときのその斜めの平面上での座標もθで表すことが出来ると思います。

そこで、最初の三角形の面積の式に代入して計算できないでしょうか?
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この回答へのお礼

ありがとうございました。間違いがわかりました。

お礼日時:2005/04/08 20:38

そんなに難しく考えずに・・・


ここでいう「最大の断面積」というのは、
「底面の一部分を切断するような断面ではない」って言うことを言いたいのではないでしょうか?

正三角形の高さ…60゜の三角形の辺の長さの比1:2:√3 と
断面の三角形の高さ…45゜の三角形の辺の長さの比1:1:√2 で
結構単純に求めちゃいました♪
 
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この回答へのお礼

その通りですね。間違いのポイントがわかりました。

お礼日時:2005/04/08 20:37

切断したときの形を想像して下さい


切断面は三角形になるのが想像できると思います
三角形の面積は高さが同じならば底辺の
長さが長いほど面積が大きくなります
底辺が同じならば高さが高いほど面積が大きくなります。
問題の場合底辺が8cmの時に面積が最大となります
このときの三角形の高さは8*sin60°/sin45°=4√6
三角形の面積は4√6*8/2=16√6となります
変数を使わずに解答しましたが、出題の主旨に反するかな??
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この回答へのお礼

ありがとうございます。疑問が解けました。

お礼日時:2005/04/08 20:33

切断したときの形を想像して下さい


切断面は三角形になるのが想像できると思います
三角形の面積は高さが同じならば底辺の
長さが長いほど面積が大きくなります
底辺が同じならば高さが高いほど面積が大きくなります。
問題の場合底辺が8cmの時に面積が最大となります
このときの三角形の高さは8*sin60°/sin45°=4√6
三角形の面積は4√6*8/2=16√6となります
変数を使わずに解答しましたが、出題の主旨に反するかな??
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こんにちは。



言葉で説明するのはちょっと難しいんですが、
正三角柱を底面に対して0度で切断した図形と
正三角柱を底面に対して45度で切断した図形との関係は、一方向にルート2倍だけ引き伸ばされる正射影と同じになります。
底面三角形の面積は16√3ですから、
射影した図形は1次元分の√2倍だけ大きくなり 16√6
という説明はだめですか?
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この回答へのお礼

切断面が一つの底辺と平行なら、その通りですが。
あれ、どの方向で切っても一方向しか伸びないのだから、どう切っても16√6ですね。私の勘違いでした。

お礼日時:2005/04/08 20:31

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