考える気力がなくなったのでたすけてください。
長さ1の線分ABを直径とする円周を動点Pが動くとき2AP+3BPの最大値を求めよという問題で
PがAと一致するとき2AP+3BP=3
PがAと一致しないとき、直径に対する円周角は直角だから角BAP=XとおくとAP=COSX、BP=SINX
2AP+3BP=ROOT13SIN(X+A)
COSA=3/ROOT13、SINA=2/ROOT13
0<X<90度より、A<X+A<90度+A
Aは鋭角より、A<90度<90度+A
X+A=90度のときSIN(X+A)の最大値は1
よって2AP+3BPの最大値はROOT13
という答案でPがAと一致するときを角ABPが0度のとき、PがAと一致しないときを角ABPが0度以上90度より小さいとするのは、絶対駄目な不自然なようなきがするのですが自信がありません。ただマニュアルの通りにしろじゃなくてどうしておかしいかしりたいです。それともこれでもいいのでしょうか。

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A 回答 (7件)

Pが、AともBとも一致しないとき、∠BAP=X とおくと



(1)∠APB=90°
(2)∠ABP=180°-∠APB- X = 90°-X

この2つが成り立っています。ところが、PがAに一致するとき、

(3) Xは定義できない
(4) ∠APBは定義できない
(5) このとき
  ∠APB=180°-(定義できない)-(定義できない)

(6) したがって、∠APBは定義できない
 となるはずなのに、どうして∠APB=0°なのだ?

という話だと思います。


一般に図形の証明問題で、三角形をぽんと書いてやることがありますけれど、もしかして「2つの頂点が一致して三角形が直線につぶれているかも」「3つの頂点が一致して、三角形が一点につぶれているかも」と考えておくのは大事かもしれません。(この問題の場合もそうですが)極限としては証明が成り立っていて、たまたま無事であることがよくありますが、気をつけないといけませんね。

この問題でも、「PとAが限りなく一致する極限では、直線APは円のAを通る接線だ!だからX=90°と定義しよう」と考えてしまえば、sin, cosを使った数式も全部共通で使えて便利です。しかも、それで正しい結果が出ます。しかし、これでは何かごまかされたような気がするかもしれません。

さて、元の問題に戻ります。∠BAP=X とおく方法では、PとAが一致するときXが定義できません。この難点を避けるため、つぎのようにします。この方法であれば、場合分けは不要となり、すっきりした説明ができます。

(1) ∠POB=θ とする。(0≦θ≦180°)

(2) (θ/2)=X とおく。0≦X≦90°となります。

このXは、P点がどこにあっても定義できます。ここで、∠POBの二等分線を考えると、

(3) BP=2×(半径)×sin(θ/2)=sin X

が成立します。また、∠POAの二等分線を考えると、

(4) AP=2×(半径)×sin{(180°-θ)/2}=2×(半径)×sin(90°-X)=cos X
※公式 sin(90°-X) = con X を使っています。

(5) したがって、2AP+3BP=2 cos X + 3 sin X=(√13)sin(X+α);ただし tan α=2/3
tan αは正なので 0≦α≦90°となるようにαを決められます。
よって、X+α=90°になるようにXを選ぶことができて、そのとき2AP+3BP=√13 となり、これが最大値です。
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訂正


×∠Aは∠BAPと一致
○∠Aは∠ABPと一致

追伸 何回か同様の質問されていたんですね^^
 「絶対だめな不自然なようなきがする」のは、ほかの人がいくらお話しても納得できないと思います。
きっと、ご自分の中に「これじゃだめだよ~」って判断するものがあるのでしょうね。
残念ながら、外からはそこまでわからないので、ご自分でご自分に「これでいいんだよ」って言ってあげてください。

この回答への補足

hidechoさんの答えは、角ABP=0度のときの言い方は不自然(おかしい)といういみでしょうか。

補足日時:2005/04/09 19:28
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>PがAと一致するときを角ABPが0度


は極限を考えるなら、90度でしょう。PとBが一致した時が0度だと思います。
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ANo.2 の補足です。


でも
「sin(X+A)の値がMAX値1」になるっていうのですからX+A=90゜
結果的には
∠X=∠BAPとしていましたから
∠Aは∠BAPと一致しますネ♪
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ずいぶんと長い間、同じ問題を考えているんですね。



http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=484177
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=503598
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=528812
http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=780723

以前から何度も何度もこの問題を質問されていて、上記のように既に多くの回答が寄せられていますが、これらの回答は理解されていますか。
同じ質問・同じ回答(おそらく)は、非効率的だと思いますが。

参考URL:http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=780723
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加法定理に使われた角Aについての範囲ですが、斜辺√13、底辺3、高さ2の三角形の∠Aが90゜より小さいといっているので「∠ABPが0度以上90度より小さいとするのは…」ということではないと思います。

^^
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> PがAと一致するときを角ABPが0度のとき、


> PがAと一致しないときを角ABPが0度以上90度より小さいとするのは、
> 絶対駄目な不自然なようなきがする
いいと思いますが
どういうところで不自然に思われたのか教えてほしいです.
気になったところ別の意味なのに同じ記号を使ってるところですね
Aと言う記号を2つの意味で使っています
これは改めて、
2AP+3BP=ROOT13SIN(X+A)の
ROOT13SIN(X+A)のAは"α:アルファ"にでもした方がいいと思います
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