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ガウス積分
∫[-∞,∞]e^(-x^2)dx=√π となりますが、
任意の複素数ζに対しても
∫[-∞,∞]e^(-(x-ζ)^2)dx=√π となることを示してください。

質問者からの補足コメント

  • 折角回答いただいたのですが前に同様の質問をしたことを忘れていました。

      補足日時:2022/10/23 17:11

A 回答 (6件)

ζ = a + ib


  x - a = t
  ω = -2b
と置き換えれば、ご質問の積分は
  e^((ω^2)/4) F(ω)
ここにF(ω)はe^(-t^2)のフーリエ変換
  F(ω) = ∫[-∞,∞] e^(-t^2) e^(-iωt) dt
  = (√π)e^(-(ω^2)/4)
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この回答へのお礼

ナイスな回答をありがとうございます。フーリエ変換はωで偏微分して求めれば良いですね。

お礼日時:2022/10/24 09:48

R>|ζ|


とする
複素数平面上で
-Rに対応する点をA
Rに対応する点をB
R-ζに対応する点をE
-ζ-Rに対応する点をF
とする
(平行)4辺形ABEFAをCとする
e^(-z^2)はC内に特異点を持たないから
∫_{C}e^(-z^2)dz=0

∫_{-R→R}e^(-x^2)dx+∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz+∫_{R-ζ→-R-ζ}e^(-z^2)dz+∫_{-R-ζ→-R}e^(-z^2)dz=0

第1項は
lim_{R→∞}∫_{-R→R}e^(-x^2)dx=∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx

第2項は
|∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz|
=|ζ∫_{0→1}e^(-(R-tζ)^2)dt|
≦|ζ|/(R-|ζ|)^2
だから
lim_{R→∞}|∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz|≦lim_{R→∞}|ζ|/(R-|ζ|)^2=0
だから
lim_{R→∞}∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz=0

第3項は
∫_{R-ζ→-ζ-R}e^(-z^2)dz
=∫_{R→-R}e^{-(x-ζ)^2}dx
=-∫_{-R→R}e^{-(x-ζ)^2}dx
だから
lim_{R→∞}∫_{R-ζ→-R-ζ}e^(-z^2)dz=-∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx

第4項は
|∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz|
=|ζ∫_{1→0}e^(-(-R-tζ)^2)dt|
≦|ζ|/(R-|ζ|)^2
だから
lim_{R→∞}|∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz|≦lim_{R→∞}|ζ|/(R-|ζ|)^2=0
だから
lim_{R→∞}∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz=0


∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx-∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx=0

∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx=∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx
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R>|ζ|


とする
複素数平面上で
-Rに対応する点をA
Rに対応する点をB
R-ζに対応する点をE
-ζ-Rに対応する点をF
とする
閉曲線ABEFAをCとする
e^(-z^2)はC内に特異点を持たないから
∫_{C}e^(-z^2)dz=0

∫_{-R→R}e^(-x^2)dx+∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz+∫_{R-ζ→-R-ζ}e^(-z^2)dz+∫_{-R-ζ→-R}e^(-z^2)dz=0

第1項は
lim_{R→∞}∫_{-R→R}e^(-x^2)dx=∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx

第2項は
|∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz|
=|ζ∫_{0→1}e^(-(R-tζ)^2)dt|
≦|ζ|/(R-|ζ|)^2
だから
lim_{R→∞}|∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz|≦lim_{R→∞}|ζ|/(R-|ζ|)^2=0
だから
lim_{R→∞}∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz=0

第3項は
∫_{R-ζ→-ζ-R}e^(-z^2)dz
=∫_{R→-R}e^{-(x-ζ)^2}dx
=-∫_{-R→R}e^{-(x-ζ)^2}dx
だから
lim_{R→∞}∫_{R-ζ→-R-ζ}e^(-z^2)dz=-∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx

第4項は
|∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz|
=|ζ∫_{1→0}e^(-(-R-tζ)^2)dt|
≦|ζ|/(R-|ζ|)^2
だから
lim_{R→∞}|∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz|≦lim_{R→∞}|ζ|/(R-|ζ|)^2=0
だから
lim_{R→∞}∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz=0


∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx-∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx=0

∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx=∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx
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この回答へのお礼

ご回答いただきありがとうございます。貴兄の回答によると積分路は平行四辺形になりますが、それでよろしいでしょうか?

お礼日時:2022/10/23 20:04

R>|ζ|


とする
複素数平面上で
-Rに対応する点をA
Rに対応する点をB
R-ζに対応する点をE
-ζ-Rに対応する点をF
とする
閉曲線ABEFAをCとする
e^(-z^2)はC内に特異点を持たないから
∫_{C}e^(-z^2)dz=0

∫_{-R→R}e^(-x^2)dx+∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz+∫_{R-ζ→-R-ζ}e^(-z^2)dz+∫_{-R-ζ→-R}e^(-z^2)dz=0

第1項は
lim_{R→∞}∫_{-R→R}e^(-x^2)dx=∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx

第2項は
|∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz|
=|ζ∫_{0→1}e^(-(R-tζ)^2)dt|
≦1/(R-|ζ|)^2
だから
lim_{R→∞}|∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz|≦lim_{R→∞}1/(R-|ζ|)^2=0
だから
lim_{R→∞}∫_{R→R-ζ}e^(-z^2)dz=0

第3項は
∫_{R-ζ→-ζ-R}e^(-z^2)dz
=∫_{R→-R}e^{-(x-ζ)^2}dx
=-∫_{-R→R}e^{-(x-ζ)^2}dx
だから
lim_{R→∞}∫_{R-ζ→-R-ζ}e^(-z^2)dz=-∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx

第4項は
|∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz|
=|ζ∫_{1→0}e^(-(-R-tζ)^2)dt|
≦1/(R-|ζ|)^2
だから
lim_{R→∞}|∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz|≦lim_{R→∞}1/(R-|ζ|)^2=0
だから
lim_{R→∞}∫_{-ζ-R→-R}e^(-z^2)dz=0


∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx-∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx=0

∫_{-∞→∞}e^{-(x-ζ)^2}dx=∫_{-∞→∞}e^(-x^2)dx
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もう解決ついてるみたいで蛇足失礼。


ζでの解析性を示して 一致の定理でもいけますね。
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この回答へのお礼

いつもアドバイスいただきありがとうございます。

お礼日時:2022/10/23 18:39

t = x-ζ で置換積分する。

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この回答へのお礼

回答いただきありがとうございます。積分範囲が虚数となったときの処理はどうすれば良いでしょうか?

お礼日時:2022/10/23 17:08

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