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3次元実ベクトル空間において, 平面 P:x-y+z+1=0 と直線 L:2(x-1)=-y=-z を考える。

(1) 平面を張る2つの線形独立 (一次独立) なベクトル,a1,a2, 直線を張るベクトルa3を求めよ。

(2) 任意の点を直線Lと平行に平面P上へ射影する線形変換を表す行列 A を求めよ。

(3) 任意の点を平面Pと平行に直線L上へ射影する線形変換を表す行列Bを求めよ。

(2)と(3)を、直線Lの式と平面Pの式に当てはめて解いたのですが、別解として、
A(a1 a2 a3)=(a1,a2,0)
B(a1 a2 a3)=(0,0,a3)
となることを用いて解く解き方がありました。なぜこのような式で表せるのでしょうか。

解答では、
a1=t(1 1 0)
a2=t(1 0 -1)
a3=t(-1 2 2)
としています。

A 回答 (3件)

LとPの交点Oを原点、3つの向きの基本ベクトルをa1、a2、a3


とする斜交座標系(Oa1a2a3)を考えて空間の点Qのこの座標系での
座標をx、y、zとすれば
↑OQ=xa1+ya2+za3 QのLにそったPへの射影Q'にたいしては
↑OQ'=xa1+ya2となるからA(a1 a2 a3)=(a1,a2,0)と定めておけば
Aは↑OQを↑OQ'にうつす線形変換になる。
またQのPにそったLへの射影をQ"とすれば↑OQ"=za3だから
B(a1 a2 a3)=(0,0,a3)と定めておけばBは↑OQを↑OQ"にうつす
線形変換です。
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この回答へのお礼

とても分かりやすかったです。ありがとうございました。

お礼日時:2022/11/01 16:07

P:x-y+z+1=0


L:2(x-1)=-y=-z

直線の方向ベクトルはa3=(-1;2;2)だから

原点
(0;0;0)
を直線Lと平行に平面P上へ射影すると
(-1;2;2)
となるから
3次元の平行移動は3次元の線形変換ではないから
3次元の線形変換で表すことはできない
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例えば


Aa1, Aa2, Aa3
がどうなるか, 3次元空間でイメージできる?
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
Aa1=a1というのは、a1 が平面の基底なので、変換後も変わらないことは分かるのですが、Aa3=0という式が分かりません。0は平面Pに存在しない点だと思うのですが、これはどういうことでしょうか。

お礼日時:2022/10/30 08:10

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