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θ=π/2 のまわりでの
f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開は

f(θ)
=sin(θ)/cos(θ)
=-cos(θ-π/2)/sin(θ-π/2)
=-cot(θ-π/2)
=1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...
となりますが、

f(θ)
=sin(θ)/cos(θ)
=1/0
=∞
ともなるため、

1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...=∞と言うことなのでしょうか?

A 回答 (5件)


ただのθ=π/2のみの時はローラン展開はできません
θ=π/2 のまわりでの
f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開は定義域は
0<|θ-π/2|<π
なのでθ=π/2となりません
θ≠π/2


ローラン展開そのままでθ→π/2としても発散するだけなので
θ→π/2はしません無意味なことはやめましょう
(θ-π/2)をかけてから
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
とするのです


ローラン展開そのままでθ→π/2としても発散するだけなので
θ→π/2はしません無意味なことはやめましょう
(θ-π/2)をかけてから
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
とするのです


f(θ)=
sin(θ)/cos(θ)=-1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...

↓a(-1)=-1,a(0)=0,a(1)=-1/3,a(2)=0,a(3)=-1/45,a(4)=0,a(5)=-2/945,だから

sin(θ)/cos(θ)=a(-1)/(θ-π/2)+a(1)(θ-π/2)+a(3)(θ-π/2)^3+a(5)(θ-π/2)^5+…

↓両辺に(θ-π/2)をかけると

(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)+a(1)(θ-π/2)^2+a(3)(θ-π/2)^4+a(5)(θ-π/2)^6+…

↓θ→π/2とすると

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
θ=π/2のみの時は
f(π/2)
=sin(π/2)/cos(π/2)
=1/0
=∞
となり、
分母が0になり、④の解答のようにローラン展開自体が出来ず∞になる。ローラン展開自体が出来ないため④の解答のような
「f(θ)=
sin(θ)/cos(θ)=-1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...

↓a(-1)=-1,a(0)=0,a(1)=-1/3,a(2)=0,a(3)=-1/45,a(4)=0,a(5)=-2/945,だから

sin(θ)/cos(θ)=a(-1)/(θ-π/2)+a(1)(θ-π/2)+a(3)(θ-π/2)^3+a(5)(θ-π/2)^5+…」
などがないためa(n)の式は存在しないとわかりました。

また、
θ=π/2(θ→π/2)の時は、④の解答より、
各a(n)が求めるが、ローラン展開は∞となる事がわかりました。

結果θ=π/2のみの場合とθ=π/2(θ→π/2)の場合で過程の計算が違ったりa(n)が存在しない場合があるが、式は∞になるとわかりました。

お礼日時:2022/10/30 20:55

θ=π/2 のまわりでの


f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開の定義域は
0<|θ-π/2|<π
なのでθ=π/2となりません
θ≠π/2

a(-1)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cosθ=-1

lim_{θ→π/2}

θ≠π/2のままでθをπ/2に近づけるという意味であって
θ=π/2とするのではありません
θ≠π/2
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
すいません伝え方が悪かったです。

お聞きしたい事が4つあります。


ただのθ=π/2のみの時はローラン展開は
1/(θ-π/2)…=1/(π/2-π/2)…=1/0…=∞となり分母が0になるため、ローラン展開が∞になるためa(n)の式は無いですが、
なぜローラン展開が=∞の時はa(n)の式は無いのでしょうか?



θ=π/2としてθ→π/2の時、
ローラン展開の式の分母が小さくなるためローラン展開は1/(θ-π/2)…=∞となると思うのですが、θ=π/2としてθ→π/2の時、ローラン展開は1/(θ-π/2)…=∞より∞となるため、
a(n)の式は存在しないのでしょうか?
仮にθ=π/2としてθ→π/2の時の a(n)が存在する場合はθ=π/2としてθ→π/2の時のa(n)の式を導くまでを教えて頂きたいです。



確認として、
θ=π/2としてθ→π/2の時は、
1/(θ-π/2)…=1/(π/2-π/2)…=1/0…=∞ではなく、
1/(θ-π/2)…=∞となると思うのですが正しいでしょうか?
θ→π/2により、分母が小さくなるため∞になると考えました。



また、
頂いた解答の
>>「a(-1)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cosθ=-1」
に関して

a(-1)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
の式はどうやって導かれたのでしょうか?

お礼日時:2022/10/30 18:32

θ = π/2 において sin θ/cos θ をどう定義してるんだ? なんで「∞」なんだ?

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θ=π/2として、



f(π/2)
=sin(π/2)/cos(π/2)
=1/0
=∞
となるため、

θ=π/2の時、
1/(θ-π/2)…=1/(π/2-π/2)…=1/0…=∞
ということ
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この回答へのお礼

なるほど、ありがとうございます。

では、
θ=π/2の時、

1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...=∞
となり、以上より

θ=π/2でf(π/2)は∞になりますが、

θ=π/2でf(π/2)の時は
a(n)の式は作れないということでしょうか?

お礼日時:2022/10/29 22:04

f(θ)


=sin(θ)/cos(θ)=1/0となりません間違いです

f(π/2)
=sin(π/2)/cos(π/2)
=1/0
=∞
となるため

1/(π/2-π/2)=1/0=∞
ということ
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

θ=π/2として、

f(π/2)
=sin(π/2)/cos(π/2)
=1/0
=∞
となるため、

θ=π/2の時、
1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...=∞と言うことなのでしょうか?

お礼日時:2022/10/29 21:12

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