θ=π/2 のまわりでの f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開は f(θ) =sin(θ)/c

θ=π/2 のまわりでの
f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開は

f(θ)
=sin(θ)/cos(θ)
=-cos(θ-π/2)/sin(θ-π/2)
=-cot(θ-π/2)
=1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...
となりますが、

f(θ)
=sin(θ)/cos(θ)
=1/0
=∞
ともなるため、

1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...=∞と言うことなのでしょうか？

No.5 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/30 19:57

①

ただのθ=π/2のみの時はローラン展開はできません
θ=π/2 のまわりでの
f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開は定義域は
0<|θ-π/2|<π
なのでθ=π/2となりません
θ≠π/2

②
ローラン展開そのままでθ→π/2としても発散するだけなので
θ→π/2はしません無意味なことはやめましょう
(θ-π/2)をかけてから
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
とするのです

③
ローラン展開そのままでθ→π/2としても発散するだけなので
θ→π/2はしません無意味なことはやめましょう
(θ-π/2)をかけてから
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
とするのです

④
f(θ)=
sin(θ)/cos(θ)=-1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...

↓a(-1)=-1,a(0)=0,a(1)=-1/3,a(2)=0,a(3)=-1/45,a(4)=0,a(5)=-2/945,だから

sin(θ)/cos(θ)=a(-1)/(θ-π/2)+a(1)(θ-π/2)+a(3)(θ-π/2)^3+a(5)(θ-π/2)^5+…

↓両辺に(θ-π/2)をかけると

(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)+a(1)(θ-π/2)^2+a(3)(θ-π/2)^4+a(5)(θ-π/2)^6+…

↓θ→π/2とすると

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)

この回答へのお礼

ありがとうございます。
θ=π/2のみの時は
f(π/2)
=sin(π/2)/cos(π/2)
=1/0
=∞
となり、
分母が0になり、④の解答のようにローラン展開自体が出来ず∞になる。ローラン展開自体が出来ないため④の解答のような
「f(θ)=
sin(θ)/cos(θ)=-1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...

↓a(-1)=-1,a(0)=0,a(1)=-1/3,a(2)=0,a(3)=-1/45,a(4)=0,a(5)=-2/945,だから

sin(θ)/cos(θ)=a(-1)/(θ-π/2)+a(1)(θ-π/2)+a(3)(θ-π/2)^3+a(5)(θ-π/2)^5+…」
などがないためa(n)の式は存在しないとわかりました。

また、
θ=π/2(θ→π/2)の時は、④の解答より、
各a(n)が求めるが、ローラン展開は∞となる事がわかりました。

結果θ=π/2のみの場合とθ=π/2(θ→π/2)の場合で過程の計算が違ったりa(n)が存在しない場合があるが、式は∞になるとわかりました。

お礼日時：2022/10/30 20:55

No.4 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/30 04:05

θ=π/2 のまわりでの

f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開の定義域は
0<|θ-π/2|<π
なのでθ=π/2となりません
θ≠π/2

a(-1)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cosθ=-1
の
lim_{θ→π/2}
は
θ≠π/2のままでθをπ/2に近づけるという意味であって
θ=π/2とするのではありません
θ≠π/2

この回答へのお礼

ありがとうございます。
すいません伝え方が悪かったです。

お聞きしたい事が4つあります。

①
ただのθ=π/2のみの時はローラン展開は
1/(θ-π/2)…=1/(π/2-π/2)…=1/0…=∞となり分母が0になるため、ローラン展開が∞になるためa(n)の式は無いですが、
なぜローラン展開が=∞の時はa(n)の式は無いのでしょうか？


②
θ=π/2としてθ→π/2の時、
ローラン展開の式の分母が小さくなるためローラン展開は1/(θ-π/2)…=∞となると思うのですが、θ=π/2としてθ→π/2の時、ローラン展開は1/(θ-π/2)…=∞より∞となるため、
a(n)の式は存在しないのでしょうか？
仮にθ=π/2としてθ→π/2の時の a(n)が存在する場合はθ=π/2としてθ→π/2の時のa(n)の式を導くまでを教えて頂きたいです。


③
確認として、
θ=π/2としてθ→π/2の時は、
1/(θ-π/2)…=1/(π/2-π/2)…=1/0…=∞ではなく、
1/(θ-π/2)…=∞となると思うのですが正しいでしょうか？
θ→π/2により、分母が小さくなるため∞になると考えました。


④
また、
頂いた解答の
>>「a(-1)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sinθ/cosθ=-1」
に関して

a(-1)=lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
の式はどうやって導かれたのでしょうか？

お礼日時：2022/10/30 18:32

No.3 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/10/29 22:03

θ = π/2 において sin θ/cos θ をどう定義してるんだ? なんで「∞」なんだ?

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/29 21:55

θ=π/2として、

f(π/2)
=sin(π/2)/cos(π/2)
=1/0
=∞
となるため、

θ=π/2の時、
1/(θ-π/2)…=1/(π/2-π/2)…=1/0…=∞
ということ

この回答へのお礼

なるほど、ありがとうございます。

では、
θ=π/2の時、

1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...=∞
となり、以上より

θ=π/2でf(π/2)は∞になりますが、

θ=π/2でf(π/2)の時は
a(n)の式は作れないということでしょうか？

お礼日時：2022/10/29 22:04

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/10/29 21:09

f(θ)

=sin(θ)/cos(θ)=1/0となりません間違いです

f(π/2)
=sin(π/2)/cos(π/2)
=1/0
=∞
となるため

1/(π/2-π/2)=1/0=∞
ということ

この回答へのお礼

ありがとうございます。

θ=π/2として、

f(π/2)
=sin(π/2)/cos(π/2)
=1/0
=∞
となるため、

θ=π/2の時、
1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...=∞と言うことなのでしょうか？

お礼日時：2022/10/29 21:12