数学の問題の解き方を教えてください！

こんにちは、高校１年生の者です。
とある数学の問題がよくわからなくて、質問させていただきました。

二次関数の応用（？）みたいな感じで出てきたのですが…。

ーーーーーーーーーーーーーーー

Ⅹ＝１の時にｙ＝３、
ｘ＝２の時にy＝１２、
x＝３の時にｙ＝１５、

となるような、図形の個数とマッチの本数の関係があります。

その関係を式で表して、他のｘやｙの値を求める問題だと思います。ｙの差が均一でないときの解き方、とも解説されていたので...。

この問題を解くとき、先生はまず、式をｙ＝ax^2+bx+cとおきました。
それから、ｙの値の差の差（はじめは一つ目のｙの値と二つ目のｙの値の差を取って、その差の差）を出しました。
そして、その差の差の値を半分にしたものを、ｙ＝ax^2+bx+cのaとしていました。

そのあとは残りのb,cの値を求めるために他のｘ、ｙの値を代入していました。

ーーーーーーーーーーーーーー
このような感じの解説だったのですが、あまり理解できなくて困っています。
数列とかの話かな、と思ったのですが、説明の雰囲気からして二次関数だけだと思います。

説明分かりにくくてすみません。
どなたかわかりやすく解説していただけると助かります。よろしくお願いします。

No.1 回答者： めくりや 回答日時： 2022/11/02 18:32

(9) 【徹底基礎講座】今すぐ実践できる数学の超時短術 - YouTube

No.2 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/11/03 10:02

3)の話かな？

x=3でy=12+15=27に見えるけど
x=4でy=27+21=48
X=5でy=48+27=75
x=6でy=75+33=108

足す数は(2x-1)×3

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2022/11/03 20:58

単純に y=ax²+bx+c にその値を代入したら。

Ⅹ＝１の時にｙ＝３、 a+b+c=3 ・・・①
ｘ＝２の時にy＝１２、4a+2b+c=12 ・・・②
x＝３の時にｙ＝１５、9a+3b+c=15 ・・・③
②-① 3a+b=9 → b=9-3a ・・・④
③-① 8a+2b=12 → b=6-4a ・・・⑤
以下 計算をすれば b, a, c の順で 数が決まるのでは。