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写真の参考についてなのですが、
この方程式が重解をもつaの値は0と27と書いてあるのですが、
上図のグラフと方程式からy=0のとき、x=0と4の2つの値をとると思うのですが、なぜa=0のときも重解と言えるのでしょうか?

赤線部分の「この方程式」=「x⁴-3x³=x³+a」のこと

この方程式をy=x⁴-4x³ y=aの2つのグラフに置き換        えています。

写真の上図のグラフはy=x⁴-4x³を表してます

「写真の参考についてなのですが、 この方程」の質問画像

A 回答 (3件)

この質問の回答は


まさしく「参考」のところに書いてあることですね。
a=0ではy=0(x軸)はy=x^4-x^3のグラフに「接している」のですよ。

また、「重解は解が1つだけになる場合」と勘違いしていないでしょうか?
(グラフ的には「参考」と同じことになります)
重解は答えが重なっている状態であって、
このほかにさらに答えがあるかどうかは関係ありません。
x^4-x^3=x^3(x-4)=xxx(x-4)=0
これを解くとx=0,0,0,4
というように「0が(3つ)重なっている」から重解なのです。
このほかの解x=4があろうがなかろうが関係ありません。
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n次方程式はn個の解(根)を持つ。


代数の基本定理です。

x⁴-4x³=0よりx³(x-4)=(x-0)(x-0)(x-0)(x-4)=0
∴解(根)はx=0,0,0,4

余談 ---------------------

解(かい)と根(こん)の違い。

n次式は複素数の範囲で1次式の積として表せます。
f(x)=a₀xⁿ+a₁xⁿ⁻¹+・・・+aₙ=(x-α₀)(x-α₁)・・・(x-αₙ)
これより
f(x)=0 → (x-α₀)(x-α₁)・・・(x-αₙ)=0

このα₀、α₁・・・・αₙが根(こん)です。
同じものが有った場合はそれを重根と呼びます。

一方で、f(α)=0となる様なαを解(かい)と呼びます。
同じものが有ったとしても、αはαなので、本来は重解なんかは存在しません。
高校で、いつのまにか根(こん)を解(かい)と言う様になったにも関わらず重根の名残で重解と言う様になってしまったのです。

f(x)=x²-2x+1=(x-1)(x-1)=0の根(こん)は1,1です。

解(かい)はf(1)=0しか無いので、1です。
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x⁴-4x³=0 →(x-0)(x-0)(x-4)=0→0は重解

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