次の問題について解答あるいはその方針を教えてほしいです。 a_(n+1)=1/(2+a_n) a_1

次の問題について解答あるいはその方針を教えてほしいです。

a_(n+1)=1/(2+a_n)
a_1=a>0

で定義される数列｛an｝について

lima_n[n→∞]=-1+√2

を示せ。

誤字があったので再投稿しました。
大学数学　解析です。

No.2 回答者： syotao 回答日時： 2022/11/06 17:38

条件式からｎ≧2のとき

a_(n+1)－a_n＝－(a_n－a_(n－1))/(2＋a_n)(2＋a_(n－1))・・・①
①より
|a_(n+1)－a_n|≦(1/4)|(a_n－a_(n－1)|
これからさらに
|a_(n+1)－a_n|≦(1/4)^(ｎ－1)|(a_2－a_1|　（ｎ≧1）・・・②
①②は、nが増加につれて
a_(n+1)－a_n　がその符号を交互に変えながらその絶対値を単調に0
に収束させることを表すからコ―シーの収束条件により
a_nは収束する。
そしてその極限値ℓは条件式をｎ→∞として
ℓ＝1/(2＋ℓ)これとa_n＞0とからℓ＝－1＋√2　になります。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/04 17:18

x=-1+√2

とする
(x+1)^2=2
x^2+2x-1=0
x(x+2)=1
x=1/(2+x)

|a(n+1)-x|
=|1/{2+a(n)}-1/(2+x)}
=|a(n)-x|/|{2+a(n)}(2+x)|

0<a(n)
2<2+a(n)>2
0<x
2<2+x
4<{2+a(n)}(2+x)
↓両辺を4{2+a(n)}(2+x)で割ると
1/|{2+a(n)}(2+x)|<1/4
↓両辺に|a(n)-x|をかけると
|a(n)-x|/|{2+a(n)}(2+x)|<|a(n)-x|/4

|a(n+1)-x|<|a(n)-x|/4

n=1のとき|a(1)-x|≦|a-x|/4^0
ある自然数nに対して
|a(n)-x|≦|a-x|/4^(n-1)
と仮定すると
|a(n+1)-x|≦|a(n)-x|/4≦|a-x|/4^n
だから
|a(n+1)-x|≦|a-x|/4^n
だから
すべての自然数nに対して
|a(n)-x|≦|a-x|/4^(n-1)

任意のε>0に対して
n_0>1+(1+|a-x|)/ε
となる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
n>n_0>1+(1+|a-x|)/ε
4^(n-1)>n-1>(1+|a-x|)/ε
(1+|a-x|)/ε<4^(n-1)
(1+|a-x|)/4^(n-1)<ε

|a(n)-x|
≦|a-x|/4^(n-1)
<(1+|a-x|)/4^(n-1)
<ε

∴
lim_[n→∞]a(n)=x=-1+√2