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次の問題について解答あるいはその方針を教えてほしいです。

a_(n+1)=1/(2+a_n)
a_1=a>0

で定義される数列{an}について

lima_n[n→∞]=-1+√2

を示せ。

誤字があったので再投稿しました。
大学数学 解析です。

A 回答 (2件)

条件式からn≧2のとき


a_(n+1)-a_n=-(a_n-a_(n-1))/(2+a_n)(2+a_(n-1))・・・①
①より
|a_(n+1)-a_n|≦(1/4)|(a_n-a_(n-1)|
これからさらに
|a_(n+1)-a_n|≦(1/4)^(n-1)|(a_2-a_1| (n≧1)・・・②
①②は、nが増加につれて
a_(n+1)-a_n がその符号を交互に変えながらその絶対値を単調に0
に収束させることを表すからコ―シーの収束条件により
a_nは収束する。
そしてその極限値ℓは条件式をn→∞として
ℓ=1/(2+ℓ)これとa_n>0とからℓ=-1+√2 になります。
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x=-1+√2


とする
(x+1)^2=2
x^2+2x-1=0
x(x+2)=1
x=1/(2+x)

|a(n+1)-x|
=|1/{2+a(n)}-1/(2+x)}
=|a(n)-x|/|{2+a(n)}(2+x)|

0<a(n)
2<2+a(n)>2
0<x
2<2+x
4<{2+a(n)}(2+x)
↓両辺を4{2+a(n)}(2+x)で割ると
1/|{2+a(n)}(2+x)|<1/4
↓両辺に|a(n)-x|をかけると
|a(n)-x|/|{2+a(n)}(2+x)|<|a(n)-x|/4

|a(n+1)-x|<|a(n)-x|/4

n=1のとき|a(1)-x|≦|a-x|/4^0
ある自然数nに対して
|a(n)-x|≦|a-x|/4^(n-1)
と仮定すると
|a(n+1)-x|≦|a(n)-x|/4≦|a-x|/4^n
だから
|a(n+1)-x|≦|a-x|/4^n
だから
すべての自然数nに対して
|a(n)-x|≦|a-x|/4^(n-1)

任意のε>0に対して
n_0>1+(1+|a-x|)/ε
となる自然数n_0がある
n>n_0となる任意の自然数nに対して
n>n_0>1+(1+|a-x|)/ε
4^(n-1)>n-1>(1+|a-x|)/ε
(1+|a-x|)/ε<4^(n-1)
(1+|a-x|)/4^(n-1)<ε

|a(n)-x|
≦|a-x|/4^(n-1)
<(1+|a-x|)/4^(n-1)



lim_[n→∞]a(n)=x=-1+√2
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