大学数学(解析学)の問題です

添付してある画像の問いについてご教授いただきたいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/06 21:36

(1)

f1(x)=sinx
|f1(x)-f1(y)|=|sinx-siny|≦|x-y|
だから
f1は大域的Lipschitz連続

(2)
任意のK>0に対して
y=K+1
x=y+1
とすると
|f2(x)-f2(y)|
=|x^2-y^2|
=(y+1)^2-y^2
=2y+1
=2K+3
>K=K|x-y|
だからf2は大域的Lipschitz連続ではない

f2(x)=x^2
|x-a|≦K
|y-a|≦K
ならば
|f2(x)-f2(y)|=|x^2-y^2|≦2(|a|+K)|x-y|
だから
f2は局所的Lipschitz連続

(3)
f3(x)=sgn(x)√|x|

任意のε>0と
任意のK>0に対して
n>K+1/εとなる自然数nがある
x=1/n^2
y=0
とすると
|x|=1/n^2≦1/n<ε
|y|=0<ε

|f3(x)-f3(y)|
=1/n
=n/n^2
=nx
>Kx=K|x-y|
だから
f3は(大域的でも局所的でも)Lipschitz連続でない
どちらでもない

(4)
f4(x)=xsinx

任意のK>0に対して
n>Kとなる自然数nがある
x=(4n+1)π/2
y=2nπ
とすると
|x-y|=π/2
f4(x)=xsinx=x=(4n+1)π/2
f4(y)=ysiny=0

|f4(x)-f4(y)|
=|xsinx-ysiny|
=(4n+1)π/2
>nπ/2
>Kπ/2=K|x-y|
だからf4は大域的Lipschitz連続ではない

|x-a|≦K
ならば
|f4(x)-f4(y)|=|xsinx-ysiny|≦(|a|+K+1)|x-y|
だから
f4は局所的Lipschitz連続

(5)
f5(x)=sin(x^2)

任意のK>0に対して
n>Kとなる自然数nがある
m>n^2となる自然数mに対して
x=√{(4m+1)π/2}
y=√{(4m-1)π/2}
とすると
x^2=(4m+1)π/2>m>n^2
y^2=(4m-1)π/2>m>n^2
x^2-y^2=π
x>n
y>n
x+y>2n>2K
K/|x+y|<1/2
K|x^2-y^2|/|x+y|<π/2
K|x-y|<π/2
sin(x^2)=1
sin(y^2)=-1

|f5(x)-f5(y)|
=|sin(x^2)-sin(y^2)|
=2
>π/2
>K|x-y|
だからf5は大域的Lipschitz連続ではない

|x-a|≦K
|y-a|≦K
ならば
|x+y|≦|x|+|y|≦2(|a|+K)

|f5(x)-f5(y)|
=|sin(x^2)-sin(y^2)|
=2|sin{(x^2-y^2)/2}cos{(x^2+y^2)/2}|
≦2|sin{(x^2-y^2)/2}|
≦|x^2-y^2|
=|x+y||x-y|
≦2(|a|+K)|x-y|

だから

f5は局所的Lipschitz連続

(6)
f6(x)=|x|

|f6(x)-f6(y)|
=||x|-|y||
≦|x-y|

だから

f6は大域的Lipschitz連続

(7)
x>0のとき
f7(x)=xlogx
x≦0のときf7(x)=0

任意のε>0と
任意のK>0に対して
n>(e^K)+1/εとなる自然数nがある
x=1/n
y=0
とすると
|x|=1/n<ε
|y|=0<ε

|f7(x)-f7(0)|
=|xlogx|
=|(1/n)log(1/n)|
=|logn|/n
>|loge^K|/n
=K/n=K|x-y|
だから
f7は(大域的でも局所的でも)Lipschitz連続でない
どちらでもない

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/06 05:52

(1)

f1(x)=sinx

|f1(x)-f1(y)|
=|sinx-siny|
=2|sin{(x-y)/2}cos{(x+y)/2}|
≦2|sin{(x-y)/2}
≦2|x-y|/2
=|x-y|

だから

f1は大域的Lipschitz連続

(2)
f2(x)=x^2

|x-a|≦K
|y-a|≦K
ならば
|x+y|≦|x|+|y|≦2(|a|+K)

|f2(x)-f2(y)|
=|x^2-y^2|
=|x+y||x-y|
≦2(|a|+K)|x-y|

だから

f2は局所的Lipschitz連続

(3)
f3(x)=sgn(x)√|x|

任意のK>0に対して
n>Kとなる自然数nがある
x=1/n^2
y=0
とすると

|f3(x)-f3(y)|
=1/n
=n/n^2
=nx
>Kx=K|x-y|

だから

f3は(大域的でも局所的でも)Lipschitz連続でない
どちらでもない

(4)
f4(x)=xsinx

|x-a|≦K
ならば
|x|≦|a|+K

|f4(x)-f4(y)|
=|xsinx-ysiny|
=|x(sinx-siny)+(x-y)siny|
≦|x||sinx-siny|+|x-y||siny|
≦(|x|+1)|x-y|
≦(|a|+K+1)|x-y|

だから

f4は局所的Lipschitz連続