例えば、y=x²という関数があると仮定したとき Δy=Δx²と表せると思うのですが、 この式の両辺を

例えば、y=x²という関数があると仮定したとき
Δy=Δx²と表せると思うのですが、
この式の両辺をΔxで割った形⇔(Δy/Δx)=x²/Δx
これは、微分と同じ扱いでよいのですか？

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2022/11/06 14:52

ご質問は、"Δy"なるものを、勘というか、アナロジーというか、何の根拠もなく持ち出したのがおかしいところです。

　　y=x²
を関数と思うのなら、
　　y(x) = x²
と表しておくのが明確でしょう。xに(x + Δx)を代入すると
　　y(x + Δx) = (x + Δx)²
　　 = x² + 2xΔx + (Δx)²
であり、関数
　　Δy(x, Δx) = y(x + Δx) - y(x)
を定義すると
　　Δy(x, Δx) / Δx = 2x + Δx
そして、y(x)の導関数y'(x) は
　　y'(x) = lim{Δx → 0} Δy(x, Δx) / Δx
と定義される。「yを(xで)微分する」というのは「y(x)の導関数y'(x) を得る」ということです。

　特にx=0の場合、
　　y'(0) = lim{Δx → 0} Δy(0, Δx) / Δx
そして
　　Δy(0, Δx) = y(Δx) - y(0) = (Δx)²
ですから、
　　y'(0) = lim{Δx → 0} Δx = 0
これがy(x)のx=0での微係数（y(x)の導関数y'(x)のx=0における値）です。

　というわけで、x=0における微係数だけを計算したって、微分したことにはなりませんから、どうユルく解釈したって「同じ扱い」ではないですね。

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/06 09:59

「同じ扱い」って何やねん？

Δx が有限であれば Δy/Δx は y の x による微分ではない
...って意味では「よくない」し、
世間の多くの人は微分をその程度にしか認識してないが、
それで日常生活上問題が生じることは少ない
...って意味ではそれでも「よい」って言えるんじゃないかな？
工学部の教授とかに質問してみると面白いかも。

No.2 回答者： ゆたモン0323 回答日時： 2022/11/06 09:19

y+Δｙ=(x＋Δｘ）²

y+Δｙ=x²+2xΔx+Δx²
なので、Δy=Δx²とはなりません。

No.1 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/11/06 08:44

xが1から2ヘ変化するとΔx=1だが

その時のyの変化Δyは
Δy=2²-1²=3≠(Δx)²