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θ=π/2 のまわりでの
f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開に関して
以外の「」の解答を頂きました。

「ローラン展開そのままでθ→π/2としても発散するだけなので
θ→π/2はしません無意味なことはやめましょう
(θ-π/2)をかけてから
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)f(θ)
とするのです」

に関して質問が3つあるのですが、


ローラン展開そのままでθ→π/2としても発散するだけであるため、すなわちθ→π/2として発散してしまいローラン展開から近似値が求まらないため、以下の【 】の計算の様に
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)について計算することで
θ=π/2 のまわりでのf(θ)=sinθ/cosθのローラン展開の近似値を求めるのでしょうか?



仮にそうだとしたら、
f(θ)=sinθ/cosθのθ→π/2の時の近似値に関しては
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)の式に関するローラン展開の近似値はθ→π/2の時、
以下の【】の計算より
=a(-1)となりa(-1)=-1であるため、
θ→π/2の時のf(θ)=sinθ/cosθのローラン展開は発散(∞)になるため、
近似値は求まらないため、
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=-1の-1を
θ→π/2の時のf(θ)=sinθ/cosθのローラン展開の近似値としただけなのでしょうか?



①、②の質問が間違っていた場合、
何のためにlim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)の式を導いたのでしょうか?

【f(θ)=
sin(θ)/cos(θ)=-1/(θ-π/2)-(θ-π/2)/3 -(θ-π/2)^3/45 - (2/945)*(θ-π/2)^5 - ...

↓a(-1)=-1,a(0)=0,a(1)=-1/3,a(2)=0,a(3)=-1/45,a(4)=0,a(5)=-2/945,だから

sin(θ)/cos(θ)=a(-1)/(θ-π/2)+a(1)(θ-π/2)+a(3)(θ-π/2)^3+a(5)(θ-π/2)^5+…

↓両辺に(θ-π/2)をかけると

(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)+a(1)(θ-π/2)^2+a(3)(θ-π/2)^4+a(5)(θ-π/2)^6+…

↓θ→π/2とすると

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)】

質問者からの補足コメント

  • ありものがたり様、どうか画像の補足に関して答えて頂けないでしょうか?

    どうかよろしくお願い致します。

    「θ=π/2 のまわりでの f(θ)=si」の補足画像1
      補足日時:2022/11/14 01:04
  • mjcp様、申し訳ないのですが、
    2022,11.12,04:02に頂いた解答に対して書いたお礼を編集したお礼の画像について答えて頂けないでしょうか?

    「θ=π/2 のまわりでの f(θ)=si」の補足画像2
      補足日時:2022/11/14 01:37
  • ありものがたりさん。
    質問者さんからのお礼に書いた内容の理解で正しいかの確認をして頂けないでしょうか。

    どうかよろしくお願いします。

      補足日時:2022/11/17 09:11

A 回答 (13件中1~10件)

> 特異点を持たない式は収束するため、


> その式に関する近似式を作ったり近似値が求められたり、留数が求められると言う事でしょうか?

展開中心が特異点でなければ、ローラン展開はテーラー展開と一致する。
テイラー展開が中心近くでの関数の近似値を求めるのに使えることは、
高校の教科書にも例があるね?

ローラン展開がテーラー展開と一致していれば、留数は 0 で計算するまでもない。


> 留数の値から何がわかるのか教えて頂けないでしょうか?

使っているテキストで、「留数定理」のとこを読めとしか。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

確認として、
テイラー展開やマクローリン展開においては、
分母が0になるような特異点を含む式自体の近似式が作れないため、特異点を含む式に関する近似値も求められない。
ローラン展開においては、θ=π/2などの特異点でのf(θ)=sinθ/cosθの近似式は作れるが=∞となるため近似値は求まらない。
しかし、
θ=π/3などの特異点でない点でのf(θ)=sinθ/cosθのローラン展開が出来るため、θ=π/3の時の近似式が作れて、その近似式からθ=π/3の時の近似値を求められる。
また、θ=π/2などの特異点でのf(θ)=sinθ/cosθのローラン展開の近似式は∞になるため留数は求まらないが、θ=π/3などの特異点でない点でのf(θ)=sinθ/cosθのローラン展開の近似式から留数を求める事が出来る。
という理解で良いでしょうか?

お礼日時:2022/11/14 14:17

「ローラン展開は近似式は(=∞になってしまうが)作れるが、近似値は求められない」の意味がわからない. 「近似式」が「=∞になってしまう」とはいったいどういうことなのか.



「近似式」「近似値」の意味を確認すべし.
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> 特異点を持つ式でも近似式を作ったり、近似値を求められる様にローラン展開があると思っていました。



近似することと近似値を求めることは違うよ
って No.6 に書いた。
読まなかったのか、理解できなかったのか。
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この回答へのお礼

すいません。
正しく理解できていませんでした。
ローラン展開は近似式は(=∞になってしまうが)作れるが、近似値は求められないという事でしょうか?

要は、特異点を持つ式の場合は、
留数を求めるか、近似式を(=∞になってしまうが)求めるためにローラン展開はあるという事でしょうか?



補足で質問がございます。

「ローラン展開がもとの関数を近似するのは、収束円環の中」との事でしたが、
特異点を持たない式の場合は、
特異点を持たない式は収束するため、
すなわち、収束円環の中という条件を満たしているため、
ローラン展開が出来るため、
その式に関する近似式を作ったり近似値が求められたり、留数が求められると言う事でしょうか?

ちなみに留数の値から何がわかるのか教えて頂けないでしょうか?

お礼日時:2022/11/12 14:34

←No.9


さしあたり今回の質問は、
留数を求めるのは特異点での近似値を求めるためじゃあない
ってのが解れば十分じゃない?
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この回答へのお礼

ありがとうございます。
えーと、ローラン展開は特異点(分母が0になるような極となる点)での近似式や近似値を求めるためにあるのではなく、
留数を求めたり、特異点の存在しない式においての近似式や近似値を求めるためにあるという事でしょうか?

今までずっと特異点を持つ式はテイラー展開やマクローリン展開出来ないため、
特異点を持つ式でも近似式を作ったり、近似値を求められる様にローラン展開があると思っていました。

ちなみに、留数を求める上で留数の値の数値から何がわかるのでしょうか?

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/11/12 14:11

> 収束円環に関係なく


> f(z)=1/(z^2-1)に関してはz=1(z→1)の時の近似値は求まらないし、
> f(θ)=sinθ/cosθに関してはθ→π/2の時の近似値は求まらないのですか?
> あんなに計算して、場合わけをしたりしていくつかのa(n)を求めたりしたのに、
> 近似値が求まらないのですか?
 ローラン展開云々より、微分積分学の基本に立ち戻り極限操作についてみっちり勉強し直した方がいいんじゃないの。
 でないと、同じような質問をまた延々と繰り返すことになる。
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i)
0<r<2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)は
z=1で1位の特異点を持つので、
z=1(z→1)の時のf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開も発散します
z=1(z→1)の時のf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開の(=∞になるので)近似式は求められません
近似値は求められません


また、
θ→π/2の時の
f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開の収束円環は
(θ=π/2の時は式が発散するため)
C={θ||θ-π/2|=r},0<r<π
です
θ=0のとき
0<|θ-π/2|=|0-π/2|=π/2<π
だから
0は収束円環に入ります
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

って事は、
収束円環に関係なく
f(z)=1/(z^2-1)に関してはz=1(z→1)の時の近似値は求まらないし、
f(θ)=sinθ/cosθに関してはθ→π/2の時の近似値は求まらないのですか?

あんなに計算して、場合わけをしたりしていくつかのa(n)を求めたりしたのに、近似値が求まらないのですか?
ローラン展開って分母が0になるような極となる点の周りの点を使って近似式や近似値を導くために作られた公式で正しいですよね?
それなのにローラン展開の公式を使い、
(z)=1/(z^2-1)やf(θ)=sinθ/cosθなどの分母が0になるような極を持つ式の近似式や近似値が求められないのがよくわかりません。

逆に、どんな式であれば分母が0になるような極を持つ式の近似式や近似値なら求まるのでしょうか?
それとも収束円環に関係なく分母が0になるような極を持つ式からは近似式や近似値は求まらないのでしょうか?
仮にそうならば何のためにローラン展開は使うのですか?

どうかよろしくお願い致します。

お礼日時:2022/11/12 04:38


i)
0<r<2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)は
z=1で1位の特異点を持つので、
z=1(z→1)の時のf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開も発散します


f(z)=1/(z^2-1)の
i)のときの
(z=1の時は式が発散するため)
収束円環は
C={z||z-1|=r},0<r<2
です


また、
θ→π/2の時の
f(θ)=sinθ/cosθのローラン展開の収束円環は
(θ=π/2の時は式が発散するため)
C={z||z-π/2|=r},0<r<π
です

なお以下は先ほどの訂正です

sin(θ)/cos(θ)=a(-1)/(θ-π/2)+a(0)+a(1)(θ-π/2)+…
↓両辺に(θ-π/2)をかけると
(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)+a(0)(θ-π/2)+…
↓両辺をn+1回微分すると
(d/dθ)^(n+1){(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)}=(n+1)!a(n)+…
↓(n+1)!で割ると
{1/(n+1)!}(d/dθ)^(n+1){(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)}=a(n)+…
↓θ→π/2とすると
lim_{θ→π/2}{1/(n+1)!}(d/dθ)^(n+1){(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)}=a(n)
のように
a(n)が求められるのです
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

④の解答に関して、
C={z||z-1=r},0<r<2などの収束円環内であればローラン展開を作れますが、
z=1(z→1)の時のf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開が発散するならば、
以前何度も書いて頂いたf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開の解答はz=1(z→1)の時のf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開の(=∞になるが)近似式は求められるが、近似値は求められないという事でしょうか?


また、⑥の解答については
収束円環に関して、θ=π/2の時は式が発散してしまうのでθ=π/2はローラン展開がもとの関数を近似する収束円環には入らないため0<r<πとなることはわかりました。
ですが、θ=0の時はf(θ)=sinθ/cosθはf(0)=sin0/cos0=0/1=0となり発散しないですが、なぜ0は収束円環には入らないのでしょうか?

お礼日時:2022/11/11 22:45

θ = π/2 の周囲で sinθ/cosθ を近似するというのと


sinθ/cosθ の近似値を求めるというのは違うことです。

lim_{θ→π/2} sinθ/cosθ が発散することは判っている
のだから、値を近似することには意味がない。

でも、lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ = +∞ に向けて
θ→π/2+0 のとき sinθ/cosθ がどのくらい早く増大するか
を考えることには意味がありますね。
そのためには、θ = π/2 の周囲での sinθ/cosθ の
ローラン展開が負次数のどんな項を持つか とか
最低次数の項の係数はいくつか とかを考えることになります。
lim_{θ→π/2+0} sinθ/cosθ を
lim_{θ→π/2+0} a(m)/(θ-π/2)^m で近似するわけです。

ローラン展開が -2 次以下の項を持つ場合にも、
a(-1) の値を知ることが重要な場面はあります。
それが、あなたが以前に繰り返し質問していた留数としてです。
留数には留数の使い道がありますが、
留数を求めることは近似ではありません。
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あなたが



θ=π/2でf(π/2)の時は
a(n)の式は作れないということでしょうか?


なぜローラン展開が=∞の時はa(n)の式は無いのでしょうか?


θ=π/2としてθ→π/2の時、ローラン展開は1/(θ-π/2)…=∞より∞となるため、
a(n)の式は存在しないのでしょうか?
仮にθ=π/2としてθ→π/2の時の
a(n)が存在する場合はθ=π/2として
θ→π/2の時のa(n)の式を導くまでを教えて頂きたいです。

というように
a(n)を求めよというので

(θ-π/2)をかけてからθ→π/2とすれば

lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)
のように
n=-1
のときの
a(n)=a(-1)
を求めることができるといったのです

sin(θ)/cos(θ)=a(-1)/(θ-π/2)+a(0)+a(1)(θ-π/2)+…
↓両辺に(θ-π/2)をかけると
(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)+a(0)(θ-π/2)+…
↓両辺をn+1回微分すると
(d/dθ)^(n+1){(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)}=a(n)+…
↓θ→π/2とすると
lim_{θ→π/2}(d/dθ)^(n+1){(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)}=a(n)
のように
a(n)が求められるのです
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

補足で申し訳ありません。
質問が新たに3つあります。
以前にした質問の中で


i)
0<r<2
C={z||z-1|=r}
f(z)=1/(z^2-1)は
z=1で1位の特異点を持ちますが、
なぜ、z=1(z→1)の時のf(z)=1/(z^2-1)のローラン展開は
θ→π/2の時のf(θ)=sinθ/cosθのローラン展開のように発散しないのでしょうか?


収束円環の中に式f(z)=1/(z^2-1)があるためでしょうか?
その収束円環とは0<r<2でしょうか?


また、
θ→π/2の時のf(θ)=sinθ/cosθのローラン展開の収束円環は(θ=π/2の時は式が発散するため)0≦θ<π/2なのでしょうか?

お礼日時:2022/11/11 17:25

「θ=π/2 のまわり」の「まわり」が収束円環の中だけのことであればローラン展開に意味はある.



もちろん何をどうしようと「θ=π/2」や「θ→π/2」で近似値を求めるというのは無意味だ. 発散するものの「近似値」ってなんだよ.
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この回答へのお礼

ありがとうございます。

なるほど、
「θ=π/2 のまわり」の「まわり」が収束円環の中だけのことであればローラン展開に意味はあるが、今回の式f(θ)=sinθ/cosθは「θ=π/2」や「θ→π/2」で近似値を求めるというのは無意味である。
何故ならば発散するため「近似値」がないため、であるとわかりました。


ちなみに、今回の式f(θ)=sinθ/cosθのθ→π/2の時でいう収束円環は
(θ=π/2の場合は式が発散してしまうため)0≦θ<π/2なのでしょうか?

また、
lim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)はa(-1)を求めるための式でありますが、θ→π/2の時のf(θ)=sinθ/cosθのローラン展開を導く上でなぜ何のためにlim_{θ→π/2}(θ-π/2)sin(θ)/cos(θ)=a(-1)の式を作ったのかの意図はわかりますでしょうか。

お礼日時:2022/11/11 16:52

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