乗法群Gとして、Gの元aと整数m,nに対して｛a^m｝a^n=a^(m+n) ｛a^m｝^n=a^

Question

乗法群Gとして、Gの元aと整数m,nに対して
｛a^m｝a^n=a^(m+n)
｛a^m｝^n=a^mn
が成り立つことを示せ。
m,nの正負で場合わけかなと思ってやってみたのですがどのみち綺麗な解答とできなかったので教えていただきたいです。

mtrajcp · Accepted Answer

a^0=1(単位元)…(1)
と定義する
a^(-1)=(aの逆元)…(2)
と定義する
ある整数nに対して
a^n
が定義されているとき
a^(n+1)=(a^n)a…(3)
と定義する
(a^n)^(-1)=a^(-n)…(4)
と定義する

任意の整数mに対して
n=0のとき
(a^m)a^n=(a^m)a^0
↓(1)から(a^m)a^0=a^mだから
(a^m)a^n=a^m=a^(m+0)=a^(m+n)

あるn≧0に対して
(a^m)(a^n)=a^(m+n)…(仮1)
が成り立つと仮定する
(3)から
a^(n+1)=(a^n)a
↓両辺にa^mをかけると
(a^m)a^(n+1)=(a^m)(a^n)a
↓(仮1)から
(a^m)a^(n+1)={a^(m+n)}a
↓(3)a^(m+n+1)={a^(m+n)}aから
(a^m)a^(n+1)=a^(m+n+1)
だから
∴任意の整数mとn≧0となる整数nに対して
(a^m)a^n=a^(m+n)…(5)

任意の整数mとn≦0となる整数に対して
j=m+n
k=-n
とすると
k≧0
だから(5)から
任意の整数jとk≧0となる整数kに対して
(a^j)a^k=a^(j+k)
↓j=m+n,k=-n,j+k=mだから
{a^(m+n)}a^(-n)=a^m
↓(4)a^(-n)=(a^n)^(-1)から
{a^(m+n)}(a^n)^(-1)=a^m
↓両辺にa^nをかけると
{a^(m+n)}(a^n)^(-1)a^n=(a^m)(a^n)
↓(2)(a^n)^(-1)a^n=1から
a^(m+n)=(a^m)(a^n)
∴任意の整数mとn≦0となる整数nに対して
(a^m)a^n=a^(m+n)
↓(5)とこれから

∴任意の整数m,nに対して
(a^m)a^n=a^(m+n)…(6)

任意の整数mに対して
n=0のとき
(a^m)^n=(a^m)^0
↓(1)(a^m)^0=1だから
(a^m)^n=1=a^0=a^(mn)

あるn≧0に対して
(a^m)^n=a^(mn)…(仮2)
が成り立つと仮定する
(3)から
(a^m)^(n+1)={(a^m)^n}a^m
↓(仮2)から
(a^m)^(n+1)={a^(mn)}a^m
↓(6)から{a^(mn)}a^m=a^(mn+m)だから
(a^m)^(n+1)=a^(mn+m)=a^{m(n+1)}
だから
∴任意の整数mとn≧0となる整数nに対して
(a^m)^n=a^(mn)…(7)

任意の整数mとn≦0となる整数に対して
k=-n
とすると
k≧0
だから(7)から
任意の整数mとk≧0となる整数kに対して
(a^m)^k=a^(mk)
↓k=-nだから
(a^m)^(-n)=a^(-mn)
↓(4)から(a^m)^(-n)={(a^m)^n}^(-1),a^(-mn)={a^(mn)}^(-1)だから
{(a^m)^n}^(-1)={a^(mn)}^(-1)
↓両辺に(a^m)^nをかけると
{(a^m)^n}^(-1)(a^m)^n={a^(mn)}^(-1)(a^m)^n
↓(2)から{(a^m)^n}^(-1)(a^m)^n=1だから
1={a^(mn)}^(-1)(a^m)^n
↓両辺にa^(mn)をかけると
a^(mn)=a^(mn){a^(mn)}^(-1)(a^m)^n
↓(2)からa^(mn){a^(mn)}^(-1)=1だから
a^(mn)=(a^m)^n
∴任意の整数mとn≦0となる整数に対して
(a^m)^n=a^(mn)
↓(7)とこれから

∴任意の整数m,nに対して
(a^m)^n=a^(mn)

ありものがたり · Answer

実際に帰納法で書き下してみると、どえらい分量になるね。

No.4 の a^n の定義だが、
(3)(4)を n≧0 に制限するか
n を任意の整数にするのなら
well-defined であることの証明が必要。

(3)(4)を n≧0 に制限すると、
以下の証明で場合分けが更にもう少し増える。

stomachman · Answer

> （n個）などと書いて

それをformalにやるには、帰納法で (a b) c = a (b c) を使う。

ありものがたり · Answer

まず、 a^m という記号の定義を確認しよう。
それでほぼ解決。
定義に使った帰納法に沿って、帰納法で証明すればいい。

HONTE · Answer

何処で躓きましたか？

乗法群Gとして、Gの元aと整数m,nに対して ｛a^m｝a^n=a^(m+n) ｛a^m｝^n=a^

a^0=1(単位元)…(1)

実際に帰納法で書き下してみると、どえらい分量になるね。

> （n個）などと書いて

まず、 a^m という記号の定義を確認しよう。

何処で躓きましたか？

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