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原始関数の存在性の証明について


数学科の3回生です。院試の勉強でつまづいたので助けてほしいです。
R︰実数全体
R上の関数f(x)をx=0ではf(x)=0、x≠0ではf(x)=sin(1/x)で定めた時にf(x)の原始関数が存在することを示せという問題に出会いました。

全く解けなかったのですが、回答を見るとg(x)=2xcos(1/x) (x≠0)
0 (x=0)
という謎の関数を考えてそれの連続性を示し、そしてgを0からxまでxで積分した関数をGとしてF=g(x)-G(x)とするとこれがfの原始関数だという解き方をしていました。

私からしたらなぜそんな解き方が思いつくのか全く分かりませんでした。こういう証明問題に対応できるような発想方法を教えて頂きたいです。
あと、代数学系の証明は割と得意なのですが、解析学系の証明は毎回何故そんなのが思いつくんだという証明ばかりでかなり苦手です。解析学全般のおすすめの勉強法があれば教えてください。よろしくお願いします。

質問者からの補足コメント

  • こちらの画像の(2)を写したのですが、この本が間違っていますか?私の写し間違いだったら申し訳ないです。

    「原始関数の存在性の証明について 数学科の」の補足画像1
      補足日時:2022/11/13 20:23

A 回答 (6件)

sin(1/x)



原始関数を求めるのだから

cos(1/x)を微分してみると

{cos(1/x)}'=(1/x^2)sin(1/x)

だから(1/x^2)を消すために

(x^2)cos(1/x)を微分してみると

{(x^2)cos(1/x)}'=2xcos(1/x)+sin(1/x)
だから

F(x)=(x^2)cos(1/x)-∫_{0~x}{2xcos(1/x)}dx
とすると

F'(x)=2xcos(1/x)+sin(1/x)-2xcos(1/x)=sin(1/x)


F(x)はsin(1/x)の原始関数
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う~ん、ぼくもあまり程度の高い問題はだめなんで


あまりえらそなことはいえないが・・・。
1つ気になったのは
あなたが(2)の問題を(1)と関連付けて考えていないように思う。
つまり
(1)の関数を微分すると
2xcos(1/x)+sin(1/x)となって(2)の関数も
あなたがなぞという2xcos(1/x)も両方出てくるわけです。
それで解説にあるような展開が可能になる。
つまりこの院試験問題はこういう関連付け力を試そうとしている
のだと思います。
失礼。
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g(x)=2xcos(1/x)


じゃなくって
g(x)=x²cos(1/x)
ですよ。

どうやったら思いつくかはわからない。
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F(x)=2xcos(1/x)-∫_{0~x}2xcos(1/x)dxではありません



F(x)=(x^2)cos(1/x)-∫_{0~x}2xcos(1/x)dx
です

F'(x)
=2xcos(1/x)+sin(1/x)-2xcos(1/x)
=sin(1/x)
=f(x)
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単に積分すりゃいいでしょうよ。


  t = 1/x
と変数変換してみなされ。すると「謎の関数」が必然的に現れ、その(tによる)積分は人呼んで「余弦積分」。
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この回答へのお礼

ありがとうございます。私が呼んだことある本のレベルが低すぎるだけかもしれませんが、数学系の院試問題とかで余弦関数は知ってる必要ありますか?名前だけは知っていたのですが形とかは知らず積分しても変な形になって諦めていました。

お礼日時:2022/11/13 20:39

Fを微分すればfにならない。

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