算数の公倍数などについて

SPIの問題集を解いていたら「ある数Xは6で割ると1あまり、かつ7で割ると1あまる。このことからXは42の公倍数+1となる」という旨の記述があったのですが、こうなる理由がわかりません。
頭のいい人たちからすれば「そりゃそうだろ自明だ」となるかもしれませんが、私はそうなれません。
どなたか簡単に式とか使って証明していただけませんか。

No.7 ベストアンサー 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2022/11/18 16:58

6で割ると1余るのだから、元の数xから1を引いたx-1は6で割り切れる。

7で割ると1余るのだから、元の数xから1を引いたx-1は7でも割り切れる。

つまり、x-1は6でも7でも割り切れる訳だですねぇ～・・・。

x-1は6×7の公倍数なんです。

なので、xは6×7の公倍数+1ですね。
6×7＝42なので、xは42の公倍数+1ですね。

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では、式でも
x=6n+1
x=7m+1　①
∴
6n+1=7m+1
移項して整理すると7m-6n=0
6n=7m
n=7m/6

nが自然数になる為には、mは6の倍数でないといけない。
m=6○という形
これを①に代入すると、
x=7･6○+1=42･○+1

これよりxは42の倍数+1。

この回答へのお礼

日本語でも説明も証明もすっと頭に入ってきました。おかげさまで理解できました　ありがとうございます。

お礼日時：2022/11/18 19:04

No.6 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/11/18 15:05

x-1は6でも割り切れ7でも割り切れる

→x-1は6の倍数でもあり7の倍数でもある
→x-1は6と7の公倍数である。
→x-1は6と7の最小公倍数(42)の倍数である。
→Xは42の倍数+1

「42の公倍数」という表現は変。

公倍数=２つ以上の整数に共通な倍数

No.5 回答者： kairou 回答日時： 2022/11/18 14:55

＞ある数Xは6で割ると1あまり、かつ7で割ると1あまる。

少し言葉を変えてみましょう。
『「ある数から 1 少ない数」は 6 でも 7 でも割り切れる。』と
同じ意味になりますね。
つまり 6 でも 7 でも 割り切れる数を探せば、
それに1 を足せば答になりますね。
で、(6 でも 7 でも 割り切れる数)=(6と7 の公倍数)と云う事になります。

難しい式は 必要ありません。
「公倍数」とは お互いの倍数 という意味です。
つまり (6と7 の公倍数) とは 言葉を変えると、
(6でも7 でも 割り切れる数) と云う事になるのです。

No.4 回答者： rnakamra 回答日時： 2022/11/18 14:30

Xは6で割ると1あまり

を
X-1は6で割り切れる

と言い換えればわかるかな。

No.3 回答者： angkor_h 回答日時： 2022/11/18 14:29

Xからその「余り1」を引いた「X-1」は、

6で割り切れ、7でも割り切れる、という事になります。
この「X-1」の最小値は、6×7=42になります。
結果、Xは、42の整数倍+1である、という事です。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2022/11/18 14:29

この集合をわかりやすく考えるためには、ｘ-1がどういう数であるか考えるのが楽です。

x＝6ｍ+1 かつ　x=7n+1 （ｘ,n,mは整数）である場合、
x-1=6m かつ　ｘ-1＝7ｎ　となります。
言い換えると
ｘ-1は6の倍数　かつ　7の倍数である　となります。
これ（ｘ-1）をペン図に書いてみると　両方を満たす部分というのは
6の倍数かつ7の倍数＝42の公倍数（6と7はたがいに素ですから）ということになります。

ｘ-1が42の公倍数ということであればｘは42の公倍数+1
となります。

No.1 回答者： mojitto 回答日時： 2022/11/18 14:28

「この数は６で割り切れかつ、７で割り切れる」だとどうですか？

この数に１を足したものが、質問文にある「ある数」となります。