マクロ経済学の「政府支出乗算」の求め方が分かりません。

Question

消費関数　C＝0.9Y 　投資 I＝150　政府支出 G＝300　
C は消費額、I は投資額、Gは政府支出　YはGDPを表します。

この時の「政府支出乗算」はどのように求めればよいでしょうか。

教科書には考え方として
Ya＝C+I+Ga
（１－ｃ）Ya=I+Ga
次に政府支出がGa+1であるとき均衡所得Ybを求めて
(1-c)Yb=I+(Ga+1)　とし、
所得の増加分はYb-Yaで
Yb-Ya＝（I+Ga+１）/（１－ｃ）-（I+Ga）/（１－ｃ）
1/（１－ｃ）
均衡所得は1/（１－ｃ）兆円
政府支出乗算は1/（１－ｃ）です
と説明されているのですが、難しくて分かりません。

「政府支出乗算」とはどのように求めれば良いでしょうか。

マクロ経済学を勉強しているのですが、難しくて戸惑っています。
解説も交えて教えて頂けると助かります。
宜しくお願いいたします。

gootarohanako · Accepted Answer

>均衡所得や政府支出乗数の計算結果を提示するときは　
数字の後に「〇〇〇兆円」とつけたほうが正解でしょうか。
プリントにはそのような指定がないもので…。

あなたの問題には数字の単位は示されていません。〇〇億円なのか、〇〇兆円なのか、それとも〇〇万ドルなのかわからないので、書きようがありませんが、それが示されているなら、当然書くべきです。

gootarohanako · Answer

あなたの教科書とは若干違う方法で示してみましょう。
なお、「政府支出乗算」ではなく、「政府支出乗数」です。（教科書をよく見てください！）
均衡とは
Y=C+I+G　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(*)
が成り立つことですが、それはいいですか？消費関数が
C＝Co+cY
で与えられているとしましょう。Coとcは定数で、cは0<c<1を満たすとする。この(小文字の）cを限界消費性向と呼びます。この消費関数を上の(*)式の右辺に代入すると
Y=(Co+cY)+I+G
よってcYを左辺に移項すると
Y-cY = Co+I+G
(1-c)Y=Co+I+G
よって
Y=(Co+I+G)/(1-c)　　　　　　　　　　　　　　　　　(**)
となることはいいですか？ここで、Gを1単位増やしたとき、Yがいくら増えるかを示す値を「政府乗数」といいます。いまGを1単位増やし（ただしCoやIは一定にとどまるとする）、GからG+1としてみましょう。すると、Yは、つまり(**)の右辺はいくら増えるでしょうか？そのとき、(**)の右辺は
(Co+I+G+1)/(1-c)
となるでしょう。つまり、Yは元の(Co+I+G)/(1-c)から
(Co＋I＋G＋1)/(1-c)へと増えるでしょう（なぜ増えるとわかる？）Yがいくら増えたかを知るには後者から前者を引けばよい。すると
(Co+I+G+1)/(1-c) - (Co+I+G)/(1-c) = 1/(1-c)
と計算される。つまり、この値が「政府支出」乗数です。いまGの増分が１ではなく、aだとすると（つまりaだけ増えたとすると）、Yは
a×(1/(1-c))=a/(1-c)
だけ増える。政府支出の増分の1/(1-c)倍だけふえるので、乗数の名前があるのです。乗数を決定しているのはｃ、つまり限界消費性向であることがわかるでしょう。
あなたの数値例では消費関数は
Ｃ＝0.9Y
つまり、上のモデルに即して言うと、Co=0,c=0.9ということになるので、この数値例の政府支出乗数は
1/(1-c)=1/(1-0.9)=10
ということになる。つまり、政府支出を増やすと、その増分の10倍のGDPが生まれることになる、ということです。

gootarohanako · Answer

「乗算」ではなく、「乗数」だということを納得してくれたようだね。
あなたの質問への回答はNo1で答えたつもりだが、あなたがもう一つの質問で投げかけた疑問について答えてみましょう。

＞Google「政府支出乗算」について調べると、
政府支出乗数は、所得均衡式 Ｙ＝Ｃ＋I＋Ｇ に消費関数、
租税関数を代入して解いた式を微分すると求められます。
と説明されているのですが、意味が分かりません。

と書いているが、ここで述べているのは、もう少し複雑な、所得税がが存在する経済についてです。いま、租税関数を
T=To + tY
と書きましょう。Tは課税額、Yは所得（GDP)、Toとｔは定数で、tは限界税率と呼ばれ、0<t<1を満たすとする。所得税があるときは、消費Ｃは可処分所得
Y - T = Y - (To + tY)= (1-t)Y - To
に依存する。このとき、消費関数は
C = Co + c(Y - T)= Co + c[(1-t)Y - To] = (Co - cTo ) + c(1-t)Y
となる。したがって、
これを
Y = C+ I + G
の右辺に代入すると
Y = (Co-cTo) + c(1-t)Y + I + G
よって
[1 - c(1-t)]Y = (Co - cTo) + I + G
政府支出乗数をもとめるためには、この式の両辺をＧで微分すると求められる。つまり、
[1-c(1-t)]dY/dG= 1

政府支出乗数＝dY/dG= 1/[1-c(1-t)]

を得る。所得税のない世界ではt=0なので、これをいま求めた式の右辺に代入すると
政府支出乗数＝dY/dG = 1/(1-c)
toNo1で求めた式に一致することを確かめられたい。所得税があると、乗数は小さくなることがわかるでしょう。

わからないところがあったら、追加質問をしてください。説明します。

gootarohanako · Answer

>Y＝0.9Y+150+300
Y-0.9Y＝0.9Y-0.9Y+150＋300
0.1Y＝150+300+1/0.1
ということなのかな？と考えたのですが

とあるが、Gが300のときは
Y=0.9Y +150 +300
より
Y-0.9Y = 150+300
0.1Y =450
Y=450/0.1=450×1/0.1＝450×10 =4500

いま、政府支出Gを300から1だけ増やして301にするとこのときの所得（GDP)を上のYと区別するためXと書こう。すると
X＝0.9X+150+301
0.9X=150+301=451
X=451/0.1＝451×1/0.1=451×10＝4510
乗数＝X-Y＝451/0.1 - 450/0.1 = 1/0.1 = 10
となるでしょう。
要するに、あなたはGが400のときと、Gが1増えて401になったときの所得（GDP)にたいして同じYという記号を用いているから、混乱しているのです。

gootarohanako · Answer

No3の訂正。
＞いま、政府支出Gを300から1だけ増やして301にするとこのときの所得（GDP)を上のYと区別するためXと書こう。すると
X＝0.9X+150+301
0.9X=150+301=451
X=451/0.1＝451×1/0.1=451×10＝4510
乗数＝X-Y＝451/0.1 - 450/0.1 = 1/0.1 = 10
となるでしょう。

⇒

いま、政府支出Gを300から1だけ増やして301にするとこのときの所得（GDP)を上のYと区別するためXと書こう。すると
X＝0.9X+150+301
0.1X=150+301=451
X=451/0.1＝451×1/0.1=451×10＝4510
乗数＝X-Y＝451/0.1 - 450/0.1 = 1/0.1 = 10
となるでしょう。

と直してください。

第1番目の式で、右辺の0.9Xを左辺に移項して
X-0.9X=150+301
0.1X=451
となるので、No３の0.9Xとあるのは0.1Xの間違い！

gootarohanako · Answer

この結果二つを計算4510-4500＝10
>この結果が政府支出乗数である、10%　となる。

政府支出1単位に対してGDP10単位を生むといことだから、（政府支出の）10%ではなく、10倍です。（どうしても％が使いたかったら、1000％ということになる。）

＞政府支出乗数とは政府支出が 1 増えたときの均衡所得を求めよという意味である。と理解すれば良いでしょうか。

政府支出が 1 増えたときの均衡所得がいくら増えるかを求めよという問いに答えをあたえる、ということです。
ところで、政府支出が1単位増えると、GDPはなぜ1単位増えるのではなく、1単位以上、ここの例では10単位増えるのか、（計算すればそうなるのというのではなく）直感的にわかる？

gootarohanako · Answer

No5への追記。
乗数の値は２とか、３とか、ここの例のように10というふうに単位のつかない数字です。財政支出がたとえば５だけ増えたとすると、乗数が10なら、GDPは５×10＝50だけ、つまり５の10倍の50増えるということです。決してあなたのように10%だけ増える、つまり、5×10％＝0.5増えるということではありませんので、注意。

gootarohanako · Answer

>では、この場合の「政府支出乗数」を答えよという問題であれば、
Y＝0.9Y+150+300の答え「１０」を提示すれば良いということでしょうか。

答えだけだったら、それでよい。あるいは公式を知っていることをみせたいなら、
乗数＝1/(1-MPC)=1/(1-0.9)=10
なお、MPCとは限界消費性向（marginal propensity to consume)で、この問題の場合0.9に等しい。

＞発展課題として、政府支出が １ 増えたときに均衡所得がどれくらい増えるのかという事と考えれば良いでしょうか。

そうです。

＞「ところで」で書いてくださった、政府支出が１単位増えるとGCPは１０単位増えるのか、に関しては
仮に政府が１兆円供給した場合に、その影響を受けた企業は必要な機材を購入し、従業員も新たに雇うことで給料を支払い、その給料を受け取った従業員が消費に使う、そのようにして社会の循環が生まれそれらがどんどん派生し経済が安定するということだから、かなと思いました。

そういうことですね。
Y＝C＋I+G
を見ると、左辺でGが1単位増えると、右辺のYは1単位増える。しかしここで終わりではなく、Yが1単位増えると、右辺の消費Cは0.9増える（なぜ？）　すると、左辺のYは0.9増える等々、YとCとの相互作用で、Yが増えていく。合計すると
　1 + 0.9 + 0.9×0.9 + 0.9×0.9×0.9＋・・・・＋・・・
＝１+0.9 + 0.9^2 + 0.9^3+・・・＋・・・
＝１/(1-0.9)
= 10
と、当初の１の10倍の所得が生まれる。（合計するとき等比級数の和の公式を用いた。）

＞この「政府支出乗数」の問題の後に、「均衡所得」を求めて下さいという問題があるのですが、
「G＝300から　G＝500になった場合、均衡所得はどの様に変化するか求めて下さい」
なのですが、これは、G＝300だった場合、
Y＝0.9Y+150+300
Y-0.9Y＝150+300
0.1Y＝450/0.1
Y＝4500

については、２番目の式から3番目の式への移行がおかしい。最後は合っているが。。
0.1Y=450
よって
Y=450/0.1=4500
となる。あなたの書き方のどこがおかしいかわかる？

同じく次の場合も
2番目から3番目への移行がおかしい！
次にG＝500だった場合、、
Y＝0.9Y+150+500
Y-0.9Y＝150+500
0.1Y＝650/0.1
Y＝6500
については

3番目のところが
0.1Y=650
よって
Y=650/0.1=6500
とする。あなたの3番目の式の何がおかしいかわかる？

＞この答えから、「政府支出」が300の時、4500で、500の時、6500
なので、「変化」として「政府支出乗数が300のときと500の時で比べると均衡所得が2000増える」
という結果で良いのでしょうか。

そうです。

gootarohanako · Answer

あなたのNo6への補足コメント。

「ここで教えて下さったのは政府支出乗数が10だけ増えると社会にもっと大きな50倍もの好影響が生まれる。そして、どれが必ず10倍増えるとも言えず、数倍にも影響がある、という考え方でしょうか。」

とあるが、正しくしくありませんね。正しくは「政府支出が５だけ増えると、政府支出乗数が10ならば、GDPは５×10＝50だけ増える」ということです。
「どれが10倍増えるとはいえず」のどれがとは？どの産業が、ということでしょうか？産業連関表があるなら、増えた50がどの部門（どの産業）の生産にどれだけ影響あたえるかということはいうことはより具体的に分析できますよ。

gootarohanako · Answer

図の書き方等は
https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13241876.html
で示したので見てください。
ここの「マクロ経済学・・・」が解決したなら、いつまでも開けておかないで閉じてください。

マクロ経済学の「政府支出乗算」の求め方が分かりません。

あなたの教科書とは若干違う方法で示してみましょう。

「乗算」ではなく、「乗数」だということを納得してくれたようだね。

>Y＝0.9Y+150+300

No3の訂正。

この結果二つを計算4510-4500＝10

No5への追記。

>では、この場合の「政府支出乗数」を答えよという問題であれば、

あなたのNo6への補足コメント。

>均衡所得や政府支出乗数の計算結果を提示するときは

図の書き方等は

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