高３ 新数Aの教科書です 単元 確率に出てくる和の法則と積の法則の問題の見分け方が分かりません。例題

高３ 新数Aの教科書です

単元 確率に出てくる和の法則と積の法則の問題の見分け方が分かりません。例題とか見比べても何でこれがこうなるのかって言うのが理解出来ません。テストが近くて困っています！ なにかわかりやすい例などあったら教えてください！！

No.7 回答者： kairou 回答日時： 2022/11/23 10:55

確率の出発点に居る人にとっては、分かり難い事柄ですね。

例えば くじ引きを考えてみます。
・ 一回目をひいて、結果を確認して 元に戻して、2回目を引く。
この場合は 1回目の結果が 2回目に影響しませんから、足し算になります。
・ 一回目を引いて 元に戻さないで、2回目を引く。
この場合は 1回目の結果によって 2回目の結果が 変わりますから、掛け算です。

No.6 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/23 09:47

はは、校正感謝。

No.5 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/11/23 09:20

確率論で「背反」は使わないでしょ。

哲学用語ですよね。

数学的には排反ですよ。

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/23 09:13

まずは、「和の法則」「積の法則」って呼び方をやめることからじゃね？

何かよく解らんけど足すやつと掛けるやつがあったっけ、どっち使えばいいんだ？
ってとこから「法則」を思い出そうとすると、どちらも似たように思えて区別に困る。
そのふたつは由来がぜんぜん違うから、どうやって式が出てくるのかを考えたら
ごっちゃになる可能性はあまりない。

背反事象の確率：
集合の元の個数について、個数(A∪B) = 個数(A) + 個数(B) - 個数(A∩B) だった。
これはベン図を思い出して、どことどこを足せばどこになるかを見れば判る。
この式を全体集合 Ω の元の個数で割ると、
確率(A∪B) = 個数(A∪B)/個数(Ω)
　　　　　 = 個数(A)/個数(Ω) + 個数(B)/個数(Ω) - 個数(A∩B)/個数(Ω)
　　　　　 = 確率(A) + 確率(B) - 確率(A∩B)　になる。
もし 確率(A∩B) = 0 であれば、確率(A∪B) = 確率(A) + 確率(B) だ。 なので、
A と B が同時には起こらない ⇔ 確率(A∩B) = 0
　　　　　　　　　　　　 ⇔ 確率(A∪B) = 確率(A) + 確率(B)
　　　　　　　　　　　　 ⇔ (どちらかが起こる確率) = (確率の和)　となる。
結果として出てくる「和の公式」よりも、
確率(A∪B) = 確率(A) + 確率(B) - 確率(A∩B)
のほうを覚えたほうがいい。
　
独立事象の確率：
A が起こった上で更に B が起こるかどうかを考えると、
確率(A∩B) = 個数(A∪B)/個数(Ω)
　　　　　 = 個数(A)/個数(Ω) × 個数(A∩B)/個数(A)
　　　　　 = 確率(A) × (A が起こったという条件下で B が起こる確率)　となる。
A と B が独立というのは、 A が起ころうが起こるまいが B の確率に影響しない
ということだから、式では
確率(B) = (A が起こったという条件下で B が起こる確率)
　　　 = (A が起こらないという条件下で B が起こる確率)　と書ける。
両方の式をあわせると、
A と B が独立 ⇔ 確率(A∩B) = 確率(A) × 確率(B)
　　　　　　⇔ (両方起こる確率) = (確率の積)　となる。
こっちも、結果として出てくる「積の公式」よりも、
確率(A∩B) = 確率(A) × (A が起こったという条件下で B が起こる確率)
のほうを覚えたほうがいい。

No.3 回答者： tsuyoshi2004 回答日時： 2022/11/23 09:11

積とか和というのは、集合が理解していればわかりやすいでしょう。

たとえば、トランプ１組（ジョーカーなしの５２枚）から１枚を引いた場合、
（７並べの要領でトランプを並べて、考えてください。）
（１）それがスペードである確率
（２）それがハートである確率
（３）それがスペードかハートである確率

（４）それが絵札（ＪＱＫ）である確率
（５）それがスペードの絵札である確率
（６）それがハートであるか、スペードの絵札である確率
（７）それがスペードであるか絵札である確率
もちろん、それぞれ該当するカードの枚数は限られるので数えれば答えは出ます。
（１）１３／５２＝１／４
（２）１３／５２＝１／４
（３）２６／５２＝１／２
（４）１２／５２＝３／１３
（５）３／５２
（６）１６／５２＝４／１３
（７）２２／５２＝１１／２６

ここで注目するのは
（３）＝（１）＋（２）
となっていること（和）
（５）＝（１）×（４）
となっていること（積）
です。
（６）＝（２）＋（５）＝（２）＋（１）×（４）
となり、和と積になります。
（７）＝（１）＋（４）－（５）
となります。なぜなら、スペードの絵札は（１）にも（４）にも含まれているので、それを引くことが必要です。

No.2 回答者： kamiyasiro 回答日時： 2022/11/23 08:28

#1様、

排反とか排他というと、一方が生起していない時、他方が必ず生起しているという理解でしたが、違いますか。
「少なとも１回観測される」というのは、「全く観測されないの排反」とか。

「同時に生起しない」ということとは、少し意味が違ってくると思います。

No.1 回答者： AっKI 回答日時： 2022/11/22 23:34

それは最初の時点での理解不足なのですよ。

教科書をしっかり見てみてください。
両者の違いがはっきり分かります。

和の法則の説明のところに
2つの事象が『同時に起こらないとき』
とあるはずです。なぜなら、
「同時に起こるのなら話の法則は使えないから」です。

ですから、機械的に判断しようとすれば
「たすかかけるかわからない2つの事象が
『同時に起こる（起こす）ものなのか否か』
ということです。

私が今持っている教科書の例では
2つのサイコロで6または7が出るのは何通りか
という出題があります。
6が出ることと7が出ることは
「同時には起こらないのでたすのです」

もう1問。あるハンバーガー店では
ハンバーガー5種類。ドリンク4種類から1つずつ選ぶ
セットがある。この組み合わせはいくつ考えられるか
という問題。これは「ハンバーガーとドリンクを
『同時に選ぶ』のでかけるのです。

なお、和の法則を使ってたすときには
「同時には起こらないので」
という言葉が必要なはずなのですが、
言われませんでしたか？
この、同時には起こらないことを『排反』というのですが、
私の持っている教科書には載っていませんでしたね。
今は習わないのでしょうか…。だから
「〇と△は排反だから」
と言い方をしたわけです。

たすかかけるか迷ったら
「同時に起こるのかどうか」を確認すること。
和の法則を使うときには、たす計算の前に
「同時に起こらない」ことを述べることです。