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ガチ急ぎです!【大学数学】【解析】

有界な数列{a_n}について、k>0として
①lim sup k(a_n)=k lim sup(a_n) (両辺n→∞)
②lim inf a_n=-lim sup (-a_n) (n→∞)

①、②がそれぞれ成り立つことを示せ。

よろしくお願いします。示すことができませんでした。

A 回答 (1件)

k>0


limsup_{n→∞}(a_n)=lim_{n→∞}sup_{m≧n}(a_m)=α…(1)
limsup_{n→∞}k(a_n)=lim_{n→∞}sup_{m≧n}k(a_m)…(2)
とすると

任意のεに対して
ε/k>0に対して
ある自然数n_0が存在して
n>n_0となる任意の自然数nに対して
sup_{m≧n}(a_m)=b_n
が存在して

m≧nとなる任意の自然数mに対して
a_m≦b_n
だから
k(a_m)≦k(b_n)
任意のδ>0に対して
δ1=δ/kとすると
b_n-δ1<a_mとなるa_mがある
k(b_n-δ1)<k(a_m)
k(b_n)-kδ1<k(a_m)
k(b_n)-δ<k(a_m)
だから
sup_{m≧n}k(a_m)=k(b_n)…(3)

|b_n-α|<ε/k
|k(b_n)-kα|<ε
だから
lim_{n→∞}k(b_n)=kα
↓これと(3)から
lim_{n→∞}sup_{m≧n}k(a_m)=kα
↓これと(2)から
limsup_{n→∞}k(a_n)=kα
↓これと(1)から
limsup_{n→∞}k(a_n)=k limsup_{n→∞}(a_n)
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