確率、数学

Question

下記の確率について教えて頂けないでしょうか？

くじにA,B,C,D賞があり、それぞれの賞が当たる確率は1/4とする。
6回のくじ引きをすることで、A,B,C,D賞の全てが1回以上当たる確率はいくつになるでしょうか？
なお、6回のくじ引きの際、A,B,C,Dの当たる確率は変わらないものと仮定する。

tknakamuri · Accepted Answer

別解
くじがAだけ重複→6P6÷3P3=120通り
同様に、B、C、Dの重複も合わせると480通り①

くじがAとBだけ重複→6P6÷2P2÷2P2=180通り
同様に、AとC、AとD、BとC、BとD、CとDの重複の場合も合わせると
1080通り②

(①+②)/4^6=1560/4096=195/512

これが一番シンプルですね。

stomachman · Answer

「それぞれの賞が当たる確率は1/4」を文字どおりに解釈すれば、たとえば、「4つの賞がまとめてもらえるくじが1/4入っていて、ハズレのくじが3/4」ということもありうる。あるいは、「A賞とB賞がまとめてもらえるくじが1/4、C賞がもらえるくじが1/4、D賞がもらえるくじが1/4、ハズレが1/4」というのかもしれない。そうすると、ご質問の確率を計算するには、4種類の賞のアタリ同士の相関係数が分かっていないとどうにもなりません。

一方、「ハズレはなく、4つの賞のうちどれか1つだけが当たり、どれが当たるかは等確率」と解釈するのであれば（どの回答者もそう読んでいるようですが）、一般に「4種類のものを重複を許して6個並べた時に4種類が全部現れる場合の数」を数えれば良い。
　考え方は「4種類のものを6個並べるやりかた　4^6通りのうちには、3種類以下のものしか現れないやりかたも含まれているから、それらを除く」ということ。正確に言えば、
　4種類のものを6個並べるやりかたから
　　4種類のものから3種類を選んでそれらを6個並べるやりかたから
　　　4種類のものから2種類を選んでそれらを6個並べるやりかたから
　　　　　4種類のものから1種類を選んでそれを6個並べるやりかた
　　　をひいたもの
　　をひいたもの
　をひいたもの
です。

一般に、
「n種類のものを重複を許してm個並べる場合の数」をS(n,m)、
「n種類のものを重複を許してm個並べて、n種類が全部現れる場合の数」をT(n,m)
とするとご質問の確率pは
　　p = T(4,6)/S(4,6)
　　S(n,m) = n^m
　　T(n,m) =  Σ{r=0～n-1} ( ((-1)^r) (nCr) ((n-r)^m) )
ご質問の場合n=4, m=6なので
　　S(4,6) = 4^6 = 4096
　　T(4,6) = 4^6 - 4×(3^6) + 6×(2^6) - 4×(1^6) = 1560
　　p = 1560/4096 = 195/512

で、級数を使わずに計算できないかと考えてみたが、どうも不首尾です。

kamiyasiro · Answer

私は、#14のような一般化した式の方が好きです。というか、応用性があると思います。

解決していなかった問題、

https://oshiete.goo.ne.jp/qa/13231028.html

の解決の糸口となりましたよ。
今、やっていたところです。
2.990225日となりました。
これもすっきりしました。

kamiyasiro · Answer

tknakamuri さん

回答見ました。素晴らしい。
私は、乱数でやっちゃったので、ピッタリの数値が出ませんでした。

tknakamuri · Answer

m回引いてn種類の賞を貰う確率をP(m、n)とすると

P(m、1)=(1/4)^(m-1)
P(m, n)=P(m-1, n-1)・{4-(n-1)}/4 + P(m-1, n)・n/4

これくらいだと、P(6,4)の計算は手計算数分で出来ますね。
195/512
でpythonの結果と一致しました。

kamiyasiro · Answer

おっと、間違えた。割り算の箇所。

n回目でk個のアイテムをコンプリートする確率Pnは、

Pn＝S(n-1, k-1) × k! / k^n

n回目までにコンプリートする確率Pは、

P＝P1 + P2 + ･･･ ＋ Pn

です。

kamiyasiro · Answer

ちなみに、理論式は、第2種スターリング数をS(n, k)で表すと、

n回目でk個のアイテムをコンプリートする確率Pnは、

Pn＝S(n-1, k-1) × k! × k^n

n回目までにコンプリートする確率Pは、

P＝P1 + P2 + ･･･ ＋ Pn

です。

kamiyasiro · Answer

ありものがたりさんへ、

数え上げではなく、理論値計算もしましたよ。
あの、リンク先サイトの式です。
自分で導出できなかったのは残念でしたが・・・。

でも、理論値を考える前に、当たり付けしたり、数字を振ったりして傾向を確認するアプローチは、私は否定しません。

問題解決の姿勢が、学者か企業人かの違いですかね（笑）。

kamiyasiro · Answer

理論値、出ました。

6回までにコンプリートする確率は、
 0.3808594

ちなみに、10回までにコンプリートする確率は、
 0.7806015

Rで第2種スターリング数を計算するライブラリは、multicool でした。

シミュレーション結果のヒストグラムに理論値を重ねてみた図を添付しておきます。まあまあの精度だったです。

あーすっきりした。

tknakamuri · Answer

A、B、C、Dが排他の場合、4面のサイコロを6個投げるのと同じはず。
総当たりで数えてみた。言語python

import numpy as np

c =0
for i in range(4**6):
　p = np.base_repr(i,4)
　if len(p)<6:
　　p = "0" + p
　s = set(p)
　if len(s) == 4:
　　c += 1
print(c)

1560個なので、確率は

1560/6^4=195/512≒0.3809

確率、数学

別解

「それぞれの賞が当たる確率は1/4」を文字どおりに解釈すれば、たとえば、「4つの賞がまとめてもらえるくじが1/4入っていて、ハズレのくじが3/4」ということもありうる。

私は、#14のような一般化した式の方が好きです。

tknakamuri さん

m回引いてn種類の賞を貰う確率をP(m、n)とすると

おっと、間違えた。

ちなみに、理論式は、第2種スターリング数をS(n, k)で表すと、

ありものがたりさんへ、

理論値、出ました。

A、B、C、Dが排他の場合、4面のサイコロを6個投げるのと同じはず。

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