186(1)の問題なんですがなぜこの考え方はダメなんですか？解答では1/2が答えです

186(1)の問題なんですがなぜこの考え方はダメなんですか？解答では1/2が答えです

No.3 回答者： syotao 回答日時： 2022/11/27 17:45

n/2を超えない最大の整数を[ｎ/2]とすれば[n/2]≦n/2

1、2、...ｎのうちｎ/2を超えるものの個数は
ｎ-[n/2]、しかし[n/2]≦n/2だからｎ-[n/2]≧ｎ-n/2＝ｎ/2
したがって
1＋2＋・・・ｎ＞n/2×n/2＝n²/4　だから
(1＋2＋・・・ｎ)/n²＞1/4
ゆえにｎ→∞のとき(1＋2＋・・・ｎ)/n²は０に近づくことはできない。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/11/27 09:09

＞ なぜこの考え方はダメなんですか？

1/n^2 + 2/n^2 + 3/n^2 + … + 1/n が 0 になるのが間違っている。
各項は →0 になるが、項数が n 個なので、
このままでは 0×∞ 型の不定形でしかなく、分子全体が →0 になるとは言えない。

No.1 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/11/27 05:18

1/n^2+2/n^2+3/n^2+…+1/nが0になるのが間違っている

1+2+3+…+n=n(n+1)/2 だから
↓n^2で割ると
(1+2+3+…+n)/n^2=(1+1/n)/2 →1/2