半径がrの球があります.これをある平面でカットしたとき,2つにわかれますが,
片方の体積を求めて下さい.
簡単だと,思いますが,お願いします.

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A 回答 (1件)

平面が球の中心からaの位置として、


その位置での断面積がπ(r^2-a^2)なので、
π(r^2-x^2)をx=a~rまで積分すればいいはずですよ。
これ以上はただの計算なので、ご自分でやってみて下さい。
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この回答へのお礼

ありがとうございました.
やっと,すっきりしました.
言われてみればなんでもない問題ですね.

高校レベルの問題も解けないなんて...

お礼日時:2001/09/10 00:41

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Q2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,..

初項を2、第2項を7とします
すべての項は一桁とします。
隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
(説明が下手でごめんなさい。。。)
つまり
2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...
といった具合です。
これが6を無限個含むことを示せという問題なんですが、見当がまったくつかず。。。
ちょっと思いついたのは偶数をかけるとどんな数字でも一桁目は偶数になるので、偶数は無限個あるというのだけで、、、
規則性が見えるかなとおもっていろいろ書き出したのですが、何もわからず。。。

ヒントでもいいのでお願いします

Aベストアンサー

> 隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
> 2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...

> といった具合です。

どういう規則なのか、さっぱり分からんですね。もしかして、この例が間違っているんじゃないでしょうか?

 仮に、この例が間違いだとして、「隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていく」をやってみると
27
2.714
27.147
271.474
2714.7428
27147.42828
271474.28288
2714742.828816
27147428.2881616
が正しいのだとしましょう。("."は掛け算をやった位置を表しています)

 さて、「数列には6が高々有限個しか現れない」と仮定すると、数列のある場所N項目から以降には6が一つもないような、そういうNが存在しなくてはならない。

 一方、数列中にひとたび(1616)が現れると、それより後ろに(666)が出て来る。
 (666)が現れると、それより後ろに(363636)が出て来る。
 (363636) が現れると、それより後ろに (1818181818) が現れ、さらにその後ろに (888888888) が現れ、さらにその後ろに(6464…6464) が出て来る。
 (6464…6464) が現れると、それより後ろに (2424…24) が現れ、さらにその後ろに (88…8) が現れ、さらにその後ろに (6464…6464) が出て来る。
 (6464…6464) が現れると、それより後ろに (2424…24) が現れ、さらにその後ろに (88…8) が現れ、さらにその後ろに (6464…6464) が出て来る。
  :
 ループです。つまり、どこまで行っても、それより後ろに(6464…6464)という部分が必ず存在する。

 だから、「数列のある場所N項目から以降には6が一つもないような、そういうN」は存在しない。
 

> 隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていくとします
> 2,7,1,4,7,2,8,1,4,1,6,...

> といった具合です。

どういう規則なのか、さっぱり分からんですね。もしかして、この例が間違っているんじゃないでしょうか?

 仮に、この例が間違いだとして、「隣り合う項をかけてその結果を数列の最後につけていく」をやってみると
27
2.714
27.147
271.474
2714.7428
27147.42828
271474.28288
2714742.828816
27147428.2881616
が正しいのだとしましょう。("."は掛け算をやった位置を表しています)

 さ...続きを読む

Q高校数学です。 底面の半径1,高さhの直円錐を,頂点を通る平面で切る。その断面である三角形の面積の

高校数学です。

底面の半径1,高さhの直円錐を,頂点を通る平面で切る。その断面である三角形の面積の最大値を求めよ。


という問題です。どうやって解くのか教えてください。

Aベストアンサー

底面の中心Oからのズレをa とします.
aと頂点を通って,O-aに直角な平面が切断面(赤い三角)となります.
aの値を0~1まで動かして,面積の最大値を求めればよい.

切断面も常に三角形なので,
三角形の底辺は 2×√(1-a^2)
三角形の高さは √(h^2+a^2)

三角形の面積Sは
S= (1/2)×2×√(1-a^2)×√(h^2+a^2)
S=√((1-a^2)(h^2+a^2))
(aの4次式ですが)[a^2]の2次式なので,その最大値を求めればよい
S=√(-a^4-(h^2-1)a^2+h^2)
=√(-a^4-(h^2-1)a^2-((h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
=√(-( a^2+(h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
=√(-( a^2+(h^2-1)/2)^2 + ((h^2+1)/2)^2 ) <ここまですべて平方根の中です>

したがって,a^2= -(h^2-1)/2 =(1-h^2)/2 のとき,すなわちa=√(1-h^2)のとき
最大値 (h^2+1)/2
ただし,これはh<=1 の場合

h>1の場合は,a=0のとき最大でS= h

底面の中心Oからのズレをa とします.
aと頂点を通って,O-aに直角な平面が切断面(赤い三角)となります.
aの値を0~1まで動かして,面積の最大値を求めればよい.

切断面も常に三角形なので,
三角形の底辺は 2×√(1-a^2)
三角形の高さは √(h^2+a^2)

三角形の面積Sは
S= (1/2)×2×√(1-a^2)×√(h^2+a^2)
S=√((1-a^2)(h^2+a^2))
(aの4次式ですが)[a^2]の2次式なので,その最大値を求めればよい
S=√(-a^4-(h^2-1)a^2+h^2)
=√(-a^4-(h^2-1)a^2-((h^2-1)/2)^2 +((h^2-1)/2)^2+h^2)
=√(-( a^2+(h^2-1)/2)^2 +((h^2...続きを読む

Q(再投稿)R^n∋A_1,A_2,…はΣ[k=1..∞]λ^*(A_k)<∞を満たす.∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kはLebesgue外測度0?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義されないという状況に陥ってしまいます(∵必ずしもSはn次元区間塊とは限らない)。
するとλ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)という不等式は意味を成さなくなります。
従って,AがLebesgue可測集合である事が示せなくなってしまいます。
Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?

すいません。
http://okwave.jp/qa4327195.html
について再投稿です。


A:=∩[n=1..∞]∪[k=n..∞]A_kと置いて
今,AがLegesgue可測集合である事を示したい訳ですよね。
Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。
そこで疑問なのですがλはn次元区間塊全体に対して定義された写像ですよね。なのでλ(S∩E)とλ(S∩E^c)はそれぞれλ(E)+λ(E^c)で(∵E⊂∀S⊂R^n),一応は定義されているのですがλ(S)はSの採りようによってはλ(S)自体が定義され...続きを読む

Aベストアンサー

とりあえず教科書を読む.
定義が分かってなければ何もできない.

>Lebesgue可測集合とはλをLebesgue外測度とする時,
>{E;Eはn次元区間塊,E⊂∀S⊂R^n,λ(S)≧λ(S∩E)+λ(S∩E^c)}の元の事ですよね。

こんなこと本当に書いてある?なんか読み落としているとか
説明の途中の何かだとか,勝手に創作してるとか?

>Lebesgue可測集合の定義を勘違いしてますでしょうか?
してる.
だって,それだったら「円」ですらルベーク可測じゃなくなる.

Q座標平面状にO(0,0)A(1,0)を取る。この平面上の2点P,Qを条

座標平面状にO(0,0)A(1,0)を取る。この平面上の2点P,Qを条件

(a)OP=1、∠AQP≦90°

(b)PQ=1,∠OPQ≧90°

を満たすように動かす。ただし角の大きさは0°から180°までの範囲で測るものとする。

<問>点Qの動く領域を求め、図示せよ。


この問題がわかりません。できるだけやさしくご教授ください。

Aベストアンサー

良くある問題なんで、方針だけ。

∠AQP=α、∠OPQ=βとし、Q(x、y)とすると、xとyはベクトルと三角関数を使うと、αとβであらわせる。
もちろん一気にQは求められないから、先ずPをαとβで求めてからだが。

そこで、0<α≦90°、180°≧β≧90°の範囲で、xとyの動きうる領域を定めるだけ。
それを求めるのは、ちょっと考えるかな。
αとβが同時に動くし、しかも、動く角度の範囲が異なるから。

Q半径1の2個の球が外接しているまわりに、半径rの球をくっつけていったら

半径1の球が2個外接している。

その2個の球の両方に外接する半径rの球がn個あり、数珠状になっている。つまり、それぞれの半径rの球は互いに外接し、また、中心は、ある円上になっている。

このとき、rはnを使ってどのように書けるのでしょうか?

別の言葉で言うと、半径1の2個の球が外接しているまわりに、半径rの球をくっつけていったら、ちょうどn個くっつけることができたとき、rとnの関係はどうなるのでしょうか?

Aベストアンサー

[1] ANo.8では
「すると、半径rの球はどれも、その中心が、原点を中心とする半径tの円上に乗る。」
と書きましたが、ちょっと言葉が不足で、
「すると、半径rの球はどれも、その中心が、原点を中心としxy平面上にある半径tの円上に乗る」
とすべきでした。

[2] ではANo.8を具体的にやってみましょう。
 step1の作図から、原点Oと、半径1の球の中心Aと、半径rの球の中心Cを結ぶ三角形は∠AOCが直角で、辺の長さは辺OAが1、辺OCがt、辺ACが(1+r)ですから、ピタゴラスの定理で
(1+r)^2 = 1 + t^2 (^2は二乗という意味です。)
つまり
t^2 = (1+r)^2 - 1
です。

step2の作図では、正n角形の一辺の中点をMとし、Mに隣接する頂点をAとして、これらと原点Oから成る三角形OMAを考えます。すると、∠Mが直角で、辺MAがr、辺OAがt、そして∠MOAは(360°/(2n))ですから、サイン関数の定義を使って
r = t sin(180°/n)
と表せます。両辺を2乗しておきましょう。
r^2 = (t^2) (sin(180°/n))^2
です。

さて、(t^2)を消去するためにstep1の式をstep2の式に代入すると、
(r^2) =((1+r)^2 -1) (sin(180°/n))^2
整理し、rについて解くと、( 三角関数の公式 (cosθ)^2 = 1-(sinθ)^2 と tanθ = (sinθ)/(cosθ)を使って)
r = 2 (tan(180°/n))^2
というすっきりした関係式が得られ、これで(n>2であれば)どんなnについてもrが計算できます。例えば、ANo.9にある通り、
n=3の場合、tan(180°/3)=√3だから、r=6
n=4の場合、tan(180°/4)=1だから、r=2
n=6の場合、tan(180°/6)=1/√3だから、r=2/3。

[3] 逆に、r=1の時にnが幾らになるかを求める場合には、
1 = 2 (tan(180°/n))^2
これをnについて解けば
n=180°/Atan(1/√2)
で、デンタクを叩いてみると
n=5.104…
でした。

ANo.4の「お礼」では
> 平面上で、一つの半径1の円のまわりに、何個の半径1の円をくっつけることができるか、という問題と同値と思います。
> 答えは6個と思います。

> さきほどの6個よりも多くくっつけることができると思いますが、8個ではないような気もします。

と仰っていますが、ご質問の状況では数珠の円の半径tが小さくなるんですから、円上に並ぶ球の個数は6個より少なくなります。

> むしろ、整数個にはならないような気がします。

これはその通りでしたね。

[1] ANo.8では
「すると、半径rの球はどれも、その中心が、原点を中心とする半径tの円上に乗る。」
と書きましたが、ちょっと言葉が不足で、
「すると、半径rの球はどれも、その中心が、原点を中心としxy平面上にある半径tの円上に乗る」
とすべきでした。

[2] ではANo.8を具体的にやってみましょう。
 step1の作図から、原点Oと、半径1の球の中心Aと、半径rの球の中心Cを結ぶ三角形は∠AOCが直角で、辺の長さは辺OAが1、辺OCがt、辺ACが(1+r)ですから、ピタゴラスの定理で
(1+r)^2 = 1 + t^2 (^2は...続きを読む


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