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自然落下する物体があり、その物体のt秒後の速度は速度が遅いうち(空気抵抗が速度に比例している時)は
  
  m・dv/dt=mg-kv 

mは物体の質量、gは重力加速度、kは空気抵抗定数。
という運動方程式を解いて

  v=[mg-exp{-k(t+C)/m}]・1/k

という一般解を得ます。(Cは積分定数)
ここまではできるのですが、この先の空気抵抗が速度の二乗に比例するばあいの運動方程式

   m・dv/dt=mg-kv^2

を解くことができないのです。解こうとしてもどうしても、途中で

   -log|mg-kv^2/C|/2kv=t/m 

という形になってしまい解くことができません。logの中にvが含まれていて、さらにlogの外にvのある形をv=の形に直せません。強引にv=の形に直せますが、両辺にvが現れてしまい解いたことになりません。
どうすればいいのでしょうか?

余談ではありますが、A=xlogx のx=への変形のしかたや、B=exp(x)+x のx=への変形のしかたを教えてくれると幸いです。

A 回答 (3件)

m(dv/dt)=mg-kv^2


を変形すると,
dv/((mg/k)-v^2)=dt/(m/k)
というようにvとtに変数分離できます.両辺積分すると,
∫dv/((mg/k)-v^2)=∫dt/(m/k)+C
左辺を部分分数展開すると,
(1/2√(mg/k))*∫dv[1/(√(mg/k)-v)-1/(√(mg/k)+v)]=∫dt/(m/k)+C
∫dv[1/(√(mg/k)-v)-1/(√(mg/k)+v)]=2√(gk/m)∫dt+C
となるので,
log|(√(mg/k)-v)/(√(mg/k)+v)|=2t√(gk/m)+C (Cは定数)
となります.両辺expをとると,
(√(mg/k)-v)/(√(mg/k)+v)=C'exp(2t√(gk/m)) (C'=±expC)
これをvについて変形すると,
(√(mg/k)-v)=(√(mg/k)+v)*C'exp(2t√(gk/m))
√(mg/k)*(1-C'exp(2t√(gk/m)))=v*(1+C'exp(2t√(gk/m)))
v=√(mg/k)*(1-C'exp(2t√(gk/m)))/(1+C'exp(2t√(gk/m)))
となります.
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えっと....


m, g, k を全て定数とみなしてよいのであれば (普通は定数とみなせるだろう)
dv / (mg - kv^2) = dt / m
という変数分離形になるので, 左辺を部分分数に分解してから積分すれば v を t の式で陽に表せると思うんだけど....

まあ, よく見ればロジスティック方程式と同じなんだけど.
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以前、y=1/x のグラフと y=logx のグラフの交点の座標を求めようとして挫折したことがあります。


1/x=logx すなわち xlogx=1 を x= へ変形できないんですね。
なんか難しい理由(理論?)があるようですが、それは他の方へお任せします。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やはりそうなのでしょうか。

お礼日時:2005/04/11 20:45

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Aベストアンサー

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この辺をどうぞ。
http://www.higashi-h.tym.ed.jp/course/kadai15/matome/kuuki.htm

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変形分離法でも出来ると思います。

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Aベストアンサー

>つまり計算結果は間違っておらずv=0になるとき、xは∞という結果でよろしいということでしょうか

ん~、有限の時間でv=0にはならないので「v=0になるとき」なんてないのですが、気持ちとしてはそういうことですね。
もちろん、現実には慣性抵抗以外の抵抗も働くので、x→∞となる事はないでしょうが。

Qdv/dt=mg+Kv^2

dv/dt=mg+Kv^2
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Aベストアンサー

#2です。
#3の
>速度の二乗に比例した空気抵抗を受ける質点の運動方程式
についてです。

運動方程式は
mdv/d=mg+Kv^2  (K>0)
です。下向きを正にしています。
上向きに投げると減速します。重力だけしか働いていない時よりも減速はきついです。
これだけを見ればKv^2は「抵抗」であると言いたくなるかもしれません。
でも最高点を過ぎると重力と合わさって加速します。
「抵抗」とは運動の邪魔をするような力の働き方についての言葉です。初め減速だがあるところから加速に変わるような力にたいして抵抗という言葉を使うことはできません。鉛直真下方向に重力と重力とは別の力の2つが働いているということがいえるだけです。重力が減速の働きをしているからと言って抵抗であるとは言わないのと同じことです。当然「空気抵抗である」ということもできません。

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mdv/dt=mg-Kv^2
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上に投げればどんな抵抗が働いていたとしても必ず落ちてきますから元の地面までの運動が表現できるような式になっていなければいけないはずです。

速度に比例する抵抗というのがよく出てきます。
mdv/dt=mg-K'v
これは運動の方向と反対向きに働く力であるという条件が常に満たされています。
いつも邪魔をするのです。投げ上げてから最高点までの運動でも最高点から後の落下運動でも抵抗として働きます。その意味では使いやすい式だということになります。

#2です。
#3の
>速度の二乗に比例した空気抵抗を受ける質点の運動方程式
についてです。

運動方程式は
mdv/d=mg+Kv^2  (K>0)
です。下向きを正にしています。
上向きに投げると減速します。重力だけしか働いていない時よりも減速はきついです。
これだけを見ればKv^2は「抵抗」であると言いたくなるかもしれません。
でも最高点を過ぎると重力と合わさって加速します。
「抵抗」とは運動の邪魔をするような力の働き方についての言葉です。初め減速だがあるところから加速に変わるような...続きを読む


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