自然落下する物体があり、その物体のt秒後の速度は速度が遅いうち(空気抵抗が速度に比例している時)は
  
  m・dv/dt=mg-kv 

mは物体の質量、gは重力加速度、kは空気抵抗定数。
という運動方程式を解いて

  v=[mg-exp{-k(t+C)/m}]・1/k

という一般解を得ます。(Cは積分定数)
ここまではできるのですが、この先の空気抵抗が速度の二乗に比例するばあいの運動方程式

   m・dv/dt=mg-kv^2

を解くことができないのです。解こうとしてもどうしても、途中で

   -log|mg-kv^2/C|/2kv=t/m 

という形になってしまい解くことができません。logの中にvが含まれていて、さらにlogの外にvのある形をv=の形に直せません。強引にv=の形に直せますが、両辺にvが現れてしまい解いたことになりません。
どうすればいいのでしょうか?

余談ではありますが、A=xlogx のx=への変形のしかたや、B=exp(x)+x のx=への変形のしかたを教えてくれると幸いです。

A 回答 (3件)

m(dv/dt)=mg-kv^2


を変形すると,
dv/((mg/k)-v^2)=dt/(m/k)
というようにvとtに変数分離できます.両辺積分すると,
∫dv/((mg/k)-v^2)=∫dt/(m/k)+C
左辺を部分分数展開すると,
(1/2√(mg/k))*∫dv[1/(√(mg/k)-v)-1/(√(mg/k)+v)]=∫dt/(m/k)+C
∫dv[1/(√(mg/k)-v)-1/(√(mg/k)+v)]=2√(gk/m)∫dt+C
となるので,
log|(√(mg/k)-v)/(√(mg/k)+v)|=2t√(gk/m)+C (Cは定数)
となります.両辺expをとると,
(√(mg/k)-v)/(√(mg/k)+v)=C'exp(2t√(gk/m)) (C'=±expC)
これをvについて変形すると,
(√(mg/k)-v)=(√(mg/k)+v)*C'exp(2t√(gk/m))
√(mg/k)*(1-C'exp(2t√(gk/m)))=v*(1+C'exp(2t√(gk/m)))
v=√(mg/k)*(1-C'exp(2t√(gk/m)))/(1+C'exp(2t√(gk/m)))
となります.
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えっと....


m, g, k を全て定数とみなしてよいのであれば (普通は定数とみなせるだろう)
dv / (mg - kv^2) = dt / m
という変数分離形になるので, 左辺を部分分数に分解してから積分すれば v を t の式で陽に表せると思うんだけど....

まあ, よく見ればロジスティック方程式と同じなんだけど.
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以前、y=1/x のグラフと y=logx のグラフの交点の座標を求めようとして挫折したことがあります。


1/x=logx すなわち xlogx=1 を x= へ変形できないんですね。
なんか難しい理由(理論?)があるようですが、それは他の方へお任せします。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やはりそうなのでしょうか。

お礼日時:2005/04/11 20:45

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Q回線速度測定について

いまNTTのフレッツ光を使ってます。

ネットにある測定サイドで回線速度を測定したら、【あなたの回線速度は5.987M】かなり遅いです。
しがし、NTTの顧客情報サービスサイドにある回線速度測定で測定したら、
【あなたの回線速度は94.034M】

どっちが正しいですか?
その理由も教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

他のかたの回答の通り、どれも正しいし、条件が違えば速度もいろいろです。


> ネットにある測定サイドで回線速度を測定したら、【あなたの回線速度は5.987M】かなり遅いです。

この測定サイトは、プロバイダの混み具合と、プロバイダへの接続回線等々の「混み具合もを含んだ」測定サイトです。
何処かに、時間によって混んだ所や、回線が細い所(ボトルネックと言う)があると、パケットデータの流れが遅延して、これが回線が遅いと見えるわけです。



>  しがし、NTTの顧客情報サービスサイドにある回線速度測定で測定したら、【あなたの回線速度は94.034M】

NTTの顧客情報サービスサイドとは、正しい名称は、NTT東(西)の「サービス情報サイト」で、旧「フレッツスクウェア」のことですね。(名称が変更になったと、画面に出ています)
こちらの測定サイトは、プロバイダの混み具合も、プロバイダへの接続回線等々も、「含んでいない」測定サイトです。
この測定サイトはNTT東(西)のフレッツ網内での測定サイト、プロバイダや回線等の混み具合に影響されません。

なお、この、NTT東(西)の「サービス情報サイト」(旧フレッツスクウェア)は、NTT東(西)のフレッツ契約のインタネット回線だけに無料で接続できるサイトです。
フレッツ契約以外のインタネット回線は、接続出来ません。
フレッツ契約なのに、NTT東(西)の「サービス情報サイト」へ接続出来ないかたは、接続用の設定が出来ていないと思われます。

フレッツ契約かどうかを確認するには、NTT東(西)からの請求書・契約書等のインタネット回線にフレッツと付いているなら、フレッツ契約です。
または、プロバイダとの請求書・契約書等の料金プラン名に、やはり、「フレッツ」、または、「FOR フレッツ」と付いているなら、フレッツ対応のインタネット回線です。

他のかたの回答の通り、どれも正しいし、条件が違えば速度もいろいろです。


> ネットにある測定サイドで回線速度を測定したら、【あなたの回線速度は5.987M】かなり遅いです。

この測定サイトは、プロバイダの混み具合と、プロバイダへの接続回線等々の「混み具合もを含んだ」測定サイトです。
何処かに、時間によって混んだ所や、回線が細い所(ボトルネックと言う)があると、パケットデータの流れが遅延して、これが回線が遅いと見えるわけです。



>  しがし、NTTの顧客情報サービスサイドにある回線...続きを読む

Qlog[a]x=u , log[a]y=v とおいた時、次の式をu,vで表せ。という問題ですが、計算方法の検討がつきません。

次の式は log[a]x^2 y^3
となっております。
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授業で基礎のみ教えてもらい、後は自分で考えて解き、テストをする。
という少し変わった方法で習っているのですが、上の演習の段階では解説もない状態なのでこの問題に関しては、検討もつきません。
ご教授いただける方いらっしゃいましたら、ぜひお願い致します。

Aベストアンサー

底 a を省略しますね
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Qネットワーク(家庭内LAN)内の通信速度測定について

ネットワーク(家庭内LAN)内の通信速度測定について

jperfを使ってPC間の通信速度を測定することはできるのですが、ルータとPCの通信速度を測定する方法を教えてもらえますか。また、jperfではルータとPC間の通信速度は測定できないのでしょうか。

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Q【数学】V=IRは電圧は電流と抵抗に比例すると言いますが、I=R/Vは何と表現しますか? 電流は抵抗

【数学】V=IRは電圧は電流と抵抗に比例すると言いますが、I=R/Vは何と表現しますか?

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Q複数の速度測定で結果バラバラ

光回線の開通により速度測定をしてみたのですが
サイトによってえらく差があるのですが・・・。

使用回線:NTT西 フレッツ 光ネクスト ファミリータイプ
------------------------------------------------------------
測定条件 精度:高 データタイプ:圧縮効率低
下り回線 速度:86.34Mbps (10.79MByte/sec) 測定品質:99.5
上り回線 速度:36.18Mbps (4.523MByte/sec) 測定品質:98.9
測定サーバー:東京-WebARENA
測定サイト http://netspeed.studio-radish.com/


■速度.jp スピードテスト 高機能版 回線速度測定結果
http://zx.sokudo.jp/ v3.0.0

回線種類/線路長/OS:光ファイバ/-/Windows XP/
サービス/ISP:光プレミアム ファミリータイプ/その他
サーバ1[N] 16.1Mbps
サーバ2[S] 17.1Mbps
下り受信速度: 17Mbps(17.1Mbps,2.13MByte/s)
上り送信速度: 32Mbps(32.1Mbps,4.0MByte/s)
診断コメント: 光プレミアム ファミリータイプの下り平均速度は
31Mbpsなので、あなたの速度は少し遅い方ですが、
もし無線LANを使用している場合は問題ありません。(下位から30%tile)

PCはバイオノート ペンティアム4 2.4G メモリ1Gです。
この測定ってどのように判断すればいいのですか?
下の測定が正しいならちょっと遅いような気がしますが・・・。
何か設定があるのでしょうか??

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使用回線:NTT西 フレッツ 光ネクスト ファミリータイプ
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下り回線 速度:86.34Mbps (10.79MByte/sec) 測定品質:99.5
上り回線 速度:36.18Mbps (4.523MByte/sec) 測定品質:98.9
測定サーバー:東京-WebARENA
測定サイト http://netspeed.studio-radish.com/


■速度.jp スピードテスト 高機能版...続きを読む

Aベストアンサー

速度測定サイトの中で正確なところであれば、そのサイトのある環境とユーザーの環境の間の速度を測ります。
ですから、速度測定サイトが違う場所にあれば、結果は当然変わってきます。
ある意味どの測定結果も本当です。

ただ、2つほどよくある原因で正確ではない結果が出ることがあり、1つは速度測定サイトの負担が高すぎて回線に余裕があるのに速度が低めに出る場合、もう1つは速度を測るユーザーのPCの性能など、環境が悪く速度が遅めに出る場合です。

しかし、速度測定をするのはたいていの場合、最大速度を知るためであるため、遠く離れた海外のサイトで速度を測って、遅いなぁという結果が出てもあまり意味はありません。
ですから、自分の回線からより近く、太い線でつながっている信頼できる速度測定サイトの結果を信用するのがよいと思います。

フレッツの場合、フレッツスクエアに速度を測る場所があり、ここで計るとインターネットのバックボーンの影響を受けずに正確な数値が得られます。
http://flets.com/customer/tec/square/speed/speed1.html など
フレッツ以外でも例えばeoなどのプロバイダは、自己のネットワーク内に独自の速度測定サイトを持っているのでそう言ったところを利用するのも方法です。

それらが無い場合は、インターネット上のサイトを利用するしかありませんが http://netspeed.studio-radish.com/ などが正確な結果を出しているように思います。
ある程度混雑の影響を受けるため、正確な結果を得たいのなら、最も空いている平日の午前4時頃に利用すると良いかと思います。

注意しなければならないのは、これらの方法で計った言わば最高速度はネット上では出ない場合がほとんどという事です。
ネット上では相手までの回線全てが影響しますから、最適な環境で測った速度はほとんどアテになりません。
最高速度を測るのは、問題のない環境で接続できているかの確認、他の人と比べて早いかどうかといった事に使われることが大抵です。

お使いになっている環境を見る限りPCの性能は不足していないと思いますよ。
上りがやや遅いですが、これはAFDの設定で改善できるかもしれません。
Nettuneを使用すれば簡単に設定できます。
あるいは、無線LANを使っているならそれくらいで妥当だと思います。

速度測定サイトの中で正確なところであれば、そのサイトのある環境とユーザーの環境の間の速度を測ります。
ですから、速度測定サイトが違う場所にあれば、結果は当然変わってきます。
ある意味どの測定結果も本当です。

ただ、2つほどよくある原因で正確ではない結果が出ることがあり、1つは速度測定サイトの負担が高すぎて回線に余裕があるのに速度が低めに出る場合、もう1つは速度を測るユーザーのPCの性能など、環境が悪く速度が遅めに出る場合です。

しかし、速度測定をするのはたいていの場合、最大...続きを読む

QA,Bは行列とする。AB=BAのときEXP(A+B)=EXP(A)*EXP(B)を証明せよ

ちなみに(1)でAB=BAのとき(AB)~m=A~m*B~mを示せという問題がありました。
たぶんこれを利用するとは思うのですが…。
誰かヨロシクお願いします!

Aベストアンサー

exp(A)=E+A+A^2/2!+A^3/3!+A^4/4!+…
exp(B)=E+B+B^2/2!+B^3/3!+B^4/4!+…
であり、
exp(A)exp(B)
=E
+(A+B)
+(A^2/2!+AB+B^2/2!)
+(A^3/3!+A^2B/2!+AB^2/2!+B^3/3!)
+(A^4/4!+A^3B/3!+A^2B^2/2!2!+AB^3/3!+B^4/4!)
+…
=E
+(A+B)
+(1/2!)(A+B)^2
+(1/3!)(A+B)^3
+(1/4!)(A+B)^4
+…
=exp(A+B)

exp(A)exp(B)を展開するときに、A^mB^nでm+nが一定となるところで
まとめて、二項定理を使っています。
普通の指数関数の場合とまったく同じです。

Q覆面パトカーの速度測定機?について

覆面パトカーなどが、スピード違反車を取り締まる時、
速度を測定に何秒間くらいかかるのでしょうか?
また、一定時間測定し、その時間内に一番速かった速度?
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Aベストアンサー

一定時間ではなく一定車間で一定距離を追尾した後に
赤切符手前の速度でメーターを止めるようですね。
悪質だとこの限りではないようですが…
ちなみに速度を計っている最中は前面にある
赤いライトを点滅させているはずなので
もしその状況になったらエンブレで速度を落としましょう。
そうしないとメータを止められてしまいます。

QΣ[k=1→n]k(k+1)(k+2)・・・(k+(m-1))を積の形にしたい。

皆様、こんにちは。

表題の通りなのですが、
Σ[k=1→n]k(k+1)(k+2)・・・(k+(m-1))を積の形にしたいのですが、
やり方が分かりません。
一応答えは分かっているのですが、導き方が分からないのです。
証明は帰納法でできると思います。

Σ[k=1→n]k(k+1)(k+2)・・・(k+(m-1))を積の形に簡単に直せる方がいましたらそのやり方を教えてください。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

「積の形」というのがよく分かりませんが、Π[k=1→n]・・・みたいな形にするということなら私にはお手上げです。
でも「単に和を求めろ」ということでしたら、ヒントを。

簡単のためにm=3で考えると、
1・2・3=1・2・3・4/4
2・3・4=(2・3・4・5-1・2・3・4)/4
3・4・5=(3・4・5・6-2・3・4・5)/4


n・(n+1)・(n+2)=(・・・・)/4
ですよね。
両辺をザザーっと加えると左辺がΣ[k=1→n]k(k+1)(k+2)、右辺がいちおう「積の形」になります・・・

Qリンク速度の測定方法は

windows2000
NTT 西日本
フレッツADSL

リンク速度(可能な最高速度で通常80%迄行きます)とは何のスピードですか。

ブロードバンドスピード測定サイトで測定したスループットとは違いますよね。

また、リンク速度はどのようにして測定するのですか?

Aベストアンサー

リンク速度とはモデムとNTT局とのあいだでどれだけの速度でつながっているかを表しています。

わかり易くご説明いたしますと、ADSLモデムは、各周波数ごとにモデムが並列につながって一つの
モデムになっていると考えてよいかと思います。接続するときに各周波数ごとに使えるモデムと
ノイズ等により使えないモデムをチェックします。使えるモデムだけを集めると通信できる総帯域が
でるかと思いますがそれがリンク速度となります。

水道で言ったら最後の蛇口に相当するでしょうか。
ですので、インターネット内でどれだけ速くても最終的に、スループットはリンク速度以下になります。

リンク速度の調べ方はモデムによっても違いますが最近のモデムでは設定画面や保守画面で見ることが
できると思います。下記参考URLにも調べ方が載っていますが具体的な機種名を補足していただくと
知っている方が教えてくれるかもしれません

参考URL:http://baseband.ne.jp/free/bff188-20030630.html

Qan=Σ[k=1->n](1/√k),bn=Σ[k=1->n](1/√

an=Σ[k=1->n](1/√k),bn=Σ[k=1->n](1/√(2k+1))のとき、
lim[n->∞](bn/an)を求めよ。


次のように考えましたが、行き詰まりました。
  1/√2Σ[k=1->n](1/n)*[1/√{(k+1)/n}]÷ Σ[k=1->n](1/n)*{1/√(k/n)} <(bn/an)<1/√2
左辺の式で、区分求積法から、lim[n->∞]としたとき、分母は2となったのですか。
分子に区分求積法が使える形でないと判断し、行き詰まりました。
1つはこの流れの解法でいいのか。もし、よかったら、このあとの処理はどうなるのか。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

定積分を利用する方法があります。

anを、定積分∫[1,n+1]dx/√x, ∫[0,n]dx/√x で、
bnを、定積分∫[1,n+1]dx/(2x+1), ∫[0,n]dx/(2x+1) で押さえ、

A≦an≦B
C≦bn≦D

とし、A/D≦an/bn≦B/C
これで、n→∞ とすればいい。


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