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自然落下する物体があり、その物体のt秒後の速度は速度が遅いうち(空気抵抗が速度に比例している時)は
  
  m・dv/dt=mg-kv 

mは物体の質量、gは重力加速度、kは空気抵抗定数。
という運動方程式を解いて

  v=[mg-exp{-k(t+C)/m}]・1/k

という一般解を得ます。(Cは積分定数)
ここまではできるのですが、この先の空気抵抗が速度の二乗に比例するばあいの運動方程式

   m・dv/dt=mg-kv^2

を解くことができないのです。解こうとしてもどうしても、途中で

   -log|mg-kv^2/C|/2kv=t/m 

という形になってしまい解くことができません。logの中にvが含まれていて、さらにlogの外にvのある形をv=の形に直せません。強引にv=の形に直せますが、両辺にvが現れてしまい解いたことになりません。
どうすればいいのでしょうか?

余談ではありますが、A=xlogx のx=への変形のしかたや、B=exp(x)+x のx=への変形のしかたを教えてくれると幸いです。

A 回答 (3件)

m(dv/dt)=mg-kv^2


を変形すると,
dv/((mg/k)-v^2)=dt/(m/k)
というようにvとtに変数分離できます.両辺積分すると,
∫dv/((mg/k)-v^2)=∫dt/(m/k)+C
左辺を部分分数展開すると,
(1/2√(mg/k))*∫dv[1/(√(mg/k)-v)-1/(√(mg/k)+v)]=∫dt/(m/k)+C
∫dv[1/(√(mg/k)-v)-1/(√(mg/k)+v)]=2√(gk/m)∫dt+C
となるので,
log|(√(mg/k)-v)/(√(mg/k)+v)|=2t√(gk/m)+C (Cは定数)
となります.両辺expをとると,
(√(mg/k)-v)/(√(mg/k)+v)=C'exp(2t√(gk/m)) (C'=±expC)
これをvについて変形すると,
(√(mg/k)-v)=(√(mg/k)+v)*C'exp(2t√(gk/m))
√(mg/k)*(1-C'exp(2t√(gk/m)))=v*(1+C'exp(2t√(gk/m)))
v=√(mg/k)*(1-C'exp(2t√(gk/m)))/(1+C'exp(2t√(gk/m)))
となります.
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えっと....


m, g, k を全て定数とみなしてよいのであれば (普通は定数とみなせるだろう)
dv / (mg - kv^2) = dt / m
という変数分離形になるので, 左辺を部分分数に分解してから積分すれば v を t の式で陽に表せると思うんだけど....

まあ, よく見ればロジスティック方程式と同じなんだけど.
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以前、y=1/x のグラフと y=logx のグラフの交点の座標を求めようとして挫折したことがあります。


1/x=logx すなわち xlogx=1 を x= へ変形できないんですね。
なんか難しい理由(理論?)があるようですが、それは他の方へお任せします。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
やはりそうなのでしょうか。

お礼日時:2005/04/11 20:45

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