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助けてください。
以下の問題の解答が0.38以上らしいのですが、何度計算しても計算しても0.38という数字が出てきません。
方針としてはAとBの衝突後のAの速度をv'、BとCの衝突後のBの速度をVとし、v'<Vを計算しました。0.38になるのでしょうか??

問題文
滑らかな水平面上に,質量がそれぞれm,2m,3mの小球A,B,Cが一直線上に並んでいる。AをBの方向へ速度vで走らせると,BははねとばされてCと衝突する。AとB,BとCの間の反発係数はいずれもeで,衝突は常に一直線上で起こるとする。AとBが2度目の衝突をしないためには,eがいくら以上でなければならないか。

A 回答 (4件)

Aの始めと衝突後の速度を v,v'


Bの始めと衝突後、そして2度目の衝突の速度を 0,u,u'
Cの始めと衝突後の速度を 0,w
とする。

始めの衝突
 mv=mv'+2mu , (v'-u)/(v-0)=-e
→ u=v'+ev、v'=(1-2e)v/3、u=(1+e)v/3・・・・①

2度目の衝突
 2mu=2mu'+3mw , (u'-w)/(u-0)=-e
→ w=u'+eu、u'=(2-3e)u/5=(2-3e)(1+e)v/15 (①から)
・・・②

3度目の衝突が無いためには
 u'>v'
①②から
 (2-3e)(1+e)v/15>(1-2e)v/3
→ e²-3e+1<0・・・・③

e²-3e+1=0 の根は
 e={3±√(9-4)}/2=0.382, 2.62
したがって、2次曲線の形から
 e>0.382 (もちろん、e≦1)
なら③を満たし、衝突しない。
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A, B, Cが「左」から順に並んでいるものとして、「右」方向を正だと決めます。

vやmがいくらであっても関係ないから、v=1, m=1とします。
AとBの衝突後のAの速度をa、Bの速度をb とすると、
  1 = 2b + a  …(1) 運動量の保存
またa≦bだから反発係数は
  e = |a - b| = b - a  …(2)
BとCの衝突後のCの速度をc、Bの速度をzとすると、
  2b = 3c + 2z  …(3) 運動量の保存
b≧0, z≦cだから反発係数は
  e = | (z - c)/b| = (c - z)/b  …(4)
BとAが再度衝突することがないというのは
  a ≦ z  …(5)
ということだが、ギリギリ、すなわち
  a = z  …(5*)
になるeを計算しよう。
  b = (1 - a)/2  …(1')
  2b = 3c + 2a  …(3')
より
  e = (1 - 3a)/2  …(2')
  c = 1/3 - a  …(3'')
以上と(4)と(5*)から
  e = (2/3 - 4a)/(1 - a)
なので(2')と(1')から
  (1 - 3a)/2 = (2/3 - 4a)/(1 - a)
すなわち
  9a^2 + 12a - 1 = 0  …(6)
である。これを解くと
  a = (-2 ± √5)/3
従って(2')から
  e = (3 ∓ √5)/2
となる。で、
  a = (-2 - √5)/3 のとき e = (3 + √5)/2 >1
だからこれはダメで、
  a = (-2 + √5)/3 のとき e = (3 - √5)/2 ≈ 0.382

 ついでに、aもcも正であり、つまり二度の衝突の後にA, B, Cは全部「右」に動いている。「跳ね返ったんなら左に動くに違いない」と思い込むとワケわかんなくなるだろうな。
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No1です、間違ってた(^^;



vb' - va = vb(2-3e)/5 - v(1 - 2e)/3
= {v(1+e)/3}(2-3e)/5 - v(1 - 2e)/3
= (1/15) {v(1+e)(2-3e) - 5v(1-2e) }
=(1/15) v(-3 + 9e - 3e^2)
= (1/15) v(-3)(1-3e+e^2)

1-3e+e^2 < 0 なら衝突しない。
1-3e+e^2=0 の根は (3±√5)/2 ≒ 0.3820, 2.6180 だから
1-3e+e^2 は この間で負になる。
e は正数で1以下だから、e > 0.3820
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まず、重さが m1, m2 で m2 が静止していて、


m1 が v1 で m2にぶつかった場合を考えてみる。

m1 と m2 の重心の速度は
v1m1 / (m1+m2)
m1 の重心との相対速度は v1 - v1m1 / (m1+m2) = v1m2/(m1+m2)
m2 の重心との相対速度は 0 - v1m1 / (m1+m2) = - v1m1 / (m1+m2)
反発により相対速度は反転し e 倍するから
衝突後の m1 の重心との相対速度は = -e・v1m2/(m1+m2)
衝突後の m2 の重心との相対速度は = ev1m1 / (m1+m2)

衝突後の m1の速度 v1'
= 重心の速度 + 衝突後の m1 の重心との相対速度
= (v1m1 - ev1m2)/(m1+m2)=v1(m1 - em2)/(m1+m2)

衝突後の m2の速度 v2'
= 重心の速度 + 衝突後の m2 の重心との相対速度
= v1m1(1+e)/(m1+m2)


以上を使うと
AとBの衝突では、衝突後の va, vb は

va = v(m - e(2m))/(m + 2m) = v(1 - 2e)/3
vb = vm(1+e)/(m+2m) = v(1+e)/3

BとCの衝突では、衝突後の vb', vc は
vb' = vb(2m-e(3m))/(2m+3m) = vb(2-3e)/5
vc = vb(2m)(1+e)/(2m+3m)=vb(2+2e)/5

vb' - va = vb(2-3e)/5 - v(1 - 2e)/3
= {v(1+e)/3}(2-3e)/5 - v(1 - 2e)/3
= (1/15) {v(1+e)(2-3e) - 5v(1-2e) }
=(1/15) v(-3 + 12e - 3e^2)
= (1/15) v(-3)(1-4e+3e^2)
= (1/15) v(-3)(1-e)(1-3e)

衝突しないためには (1-3e) < 0 だから
e > 1/3

0.38 は出てこなかった。
どっか間違ってるかな?
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