この問題の3番で、 CDを求めるために、 ∠BCD=30°、BD=4√2、BC=(5√2)/2を使っ

この問題の3番で、
CDを求めるために、
∠BCD=30°、BD=4√2、BC=(5√2)/2を使って、
余弦定理で求めたら、

2t²-(8√6)t+39=0
CD={(4√6)±(3√2)}/2が出てきたのですが、

4√6>3√2だから、この場合、プラスとマイナスどっちでも、正になってしまうと思うのですが、
こういう場合どうしたらいいのですか？

No.4 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/12 14:21

＞ ∠BDC=30°, BD=4√2, BC=(5√2)/2 を使って

＞ 余弦定理で求めたら

余弦定理を、角を挟む辺の長さを求めるために使うと、
図のように答えの候補がふたつ出てきます。
そのうちどちらの値が本当の答えかは、余弦定理に使ったのとは
別の条件から決めねばならない。
今回の場合は、四角形ABCDが円に内接するというのが
考慮すべき条件になるでしょう。 そこをチェックするよりは、
最初から No.3 のようにしたほうが早いよね。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/12/12 13:34

BDは余弦定理から

(BD)^2 ＝ (AB)^2 + (AD)^2 - 2(AB)(AD)cos∠BAD
BD= 4√2

BCは正弦定理から
円の半径は正弦定理から 2R = BD/sin∠BAD =5√(2)
BC/sin30°=2R= 5√(2)
BC = 5√(2) × 1/2=5√(2)/2

円周角の定理から
cos∠BCD = cos(180°-∠BAD)= - cos∠BAD = 3/5

2辺2角わかっているので、余弦定理じゃなくて
CD = BCcos∠BCD + BDcos30°
で良いでしょ。

CD = 5√(2)/2 × 3/5 + 4√(2)×√3)/2
= 3√(2)/2 + 2√(6)

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2022/12/11 20:19

(3)

sin(∠BAD)=sin(∠BCD)=4/5

△ABDの面積は
|△ABD|
=(1/2)|AB||AD|sin∠BAD
=(1/2)5(4/5)
=2

∠CBD=180°-∠BDC-∠BCD
∠CBD=180°-30°-∠BCD
∠CBD=150°-∠BCD

sin∠CBD
=sin(150°-∠BCD)
=sin(150°)cos(∠BCD)-cos(150°)sin(∠BCD)
=sin(30°)(3/5)+cos(30°)(4/5)
=(1/2)(3/5)+(√3/2)(4/5)
=(3+4√3)/10

△BCDの面積は
|△BCD|
=(1/2)|BC||BD|sin∠CBD
=(1/2){(5√2)/2}(4√2)(3+4√3)/10
=3+4√3

S
=|△ABD|+|△BCD|
=2+3+4√3
=5+4√3

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2022/12/11 19:31

＞∠BCD=30°、BD=4√2、BC=(5√2)/2を使って

∠BDC=30° ですが、余弦定理ではきちんと計算しているみたいですね。

BD、BC が分かっているので
　BC + CD > BD
から（三角形の2辺の和は、他の1辺よりも大きい）
　CD > BD - BC = 4√2 - (5√2)/2 = (3√2)/2
なので
　CD = (2√6) + (3√2)/2
と決まりますよ。