1辺の長さが2の正三角形ABCがある。点Aからの距離がxでBCに平行な直線をlとする。
(1)直線lが三角形ABCと共有点を持つとき、この三角形をlの周りに回転してえられる回転体の体積Vをxの式で表せ。
(2)(1)の回転体の体積Vの最小値を求めよ。

このQ&Aに関連する最新のQ&A

台形 体積」に関するQ&A: 台形の体積

A 回答 (3件)

難しいことはありません。

頑張って解きましょう!

一辺2の正三角形ABCを、BCに平行な直線を軸にして回転体を作る。その体積を求めよ。ただし軸はAからの距離がhであって、0≦h≦√3。
(ご質問ではxと書いてありますけど、hに変えました。)
という問題。

 X-Y座標系において、回転軸をX軸に一致させ、頂点AがY軸上に来るようにします。図形はY軸について鏡像対称ですから、X≧0の部分の回転体の体積が分かれば、その2倍が求める体積Vです。以下、X≧0だけについて考えます。だから底辺1、高さ√3の直角三角形についてだけ考えればよい訳です。

まずは三角形をY>0の方へX軸で折り返してみましょう。hの値によって2通りの場合ができる。
(1) 0≦h≦√3/2のとき。台形になります。


|------
|    /
|   /
+--------> X
この台形は


|-----+
|    /|
|   / |
+--------> X
長方形から、右下の直角三角形を除いた物である。
これをX軸の周りに回転させて出来る立体の体積は、(円筒の体積)-(円錐の体積)になる訳ですね。円筒と円錐、それぞれの半径と高さが分かれば、体積はすぐに求められます。

(2) √3/2≦h≦√3のとき。台形の上に直角三角形のツノが生えています。


|\
|------
|    /
+--------> X
台形の部分については、(1)と同様です。ツノについてはこう考える。


|\
|-+
| |\ 
+--------> X
大きい直角三角形から、長方形と、右下の小さい直角三角形を除いた物がツノですね。だから、
(ツノを回転してできる立体の体積)=(大きい直角三角形を回転してできる円錐の体積) -( 長方形を回転してできる円筒の体積) - (右下の小さい直角三角形を回転してできる円錐の体積)

(1)(2)共に、体積Vはhの2次式で表されます。だから(1)(2)のそれぞれの場合についてdV/dh=0になるhを求めて、それが(1)あるいは(2)の条件(0≦h≦√3/2、√3/2≦h≦√3)を満たすかどうかチェックすれば、Vが最小になるhが分かります。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました。解けました。

お礼日時:2001/09/11 15:04

まず、図を書きましょう。


正三角形の一辺(BC)を紙の水平にして、点Aを上に書く。
直線を適当な位置に引く。
直線をy軸とする。(xは使っているので。)右が正方向。
直線と三角形の交点をD,Eとする。
AからDEに垂線をひく。(この長さは当然x)
B,Cからy軸に垂線を引く。
それぞれのy座標は、0と2。
D,Eの座標は、xで表せます。(自分で計算してください)
それを仮に、d,eとする。
(1)0<y<dの範囲、(2)d<y<eの範囲、(3)e<y<2の範囲
に分けて考えます。
ただし、(1)と(3)は同じなので(1)を計算して2倍する。
(2)は単なる円柱になります。
(1)は円柱から、円錐を引くだけ。
体積Vを出すのは積分する必要なし。

問題(2)はxで表したVを微分して、0<x<√3の範囲の極小値を求める。
    • good
    • 0
この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2001/09/11 15:05

この問題のどこが分からないのですか? 補足して下さい。

この回答への補足

解き方がわかりません。方針をおしえてください。

補足日時:2001/09/09 22:45
    • good
    • 0

このQ&Aに関連する人気のQ&A

台形 体積」に関するQ&A: 台形の体積

お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!

このQ&Aを見た人が検索しているワード

このQ&Aと関連する良く見られている質問

Q任意の三角形からその三角形と面積の等しい正三角形をその三角形を使って作図するには??

等積変形の問題なのですがかなり考えたのですがわかりません。どなたかわかれば教えてください。

Aベストアンサー

方べきの定理を使用します。
任意の三角形の1辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を1辺とし、もう1辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりましたので、ここで方べきの定理を使用します。
1点より、同じ方向へ、(2a/3)と(√3)bを直線上にとり、この差の半分の長さで円を描きます(この直線上に円の中心がある)。全ての点は同一直線上にある。
つぎに、最初の1点と円の中心点とを直径とする円を描き、交点と最初の1点を結ぶと、接線となり、此がcとなります。
此を1辺とする正三角形を書けば出来上がりです。
作図をするときにa,bを入れ替えてしても同じ結果になります。

方べきの定理を使用します。
任意の三角形の1辺をaとし、此に頂点から垂線を下ろします。
垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
c^2=(2√3)ab/3)
ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
此を1辺とし、もう1辺をbとする長方形を作り、この対角線は(√3)bとなります。
これで、(2a/3)と(√3)bの辺の長さが決まりまし...続きを読む

Q回転体の問題です y=x^4とx=y^4で囲まれた部分をxじくのまわりに 回転してできる回転体の体積

回転体の問題です
y=x^4とx=y^4で囲まれた部分をxじくのまわりに
回転してできる回転体の体積を求めるには
どうすればよいでしょうか?

Aベストアンサー

このサイト ↓ が参考になるんじゃないですか.

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q12169623962

0 ≦ x ≦ 1 のとき, x^8 と x^(1/2) の大小関係を間違えなければ, 簡単な問題です.

Q三角形ABCと三角形DEFの重心は一致することを証明

クリックありがとうございます(∩´∀`)∩

★三角形ABCにおいて辺AB,BC,CAを3:2に内分する点を,それぞれD,E,Fとするとき,
  三角形ABCと三角形DEFの重心は一致することを証明せよ。

この問題についてヒントだけでもお願いします。

Aベストアンサー

座標を設定しましょう。
A点 < Xa , Ya >
B点 < Xb , Yb >
C点 < Xc , Yc >

三角形ABCの重心G
< ( Xa+Xb+Xc)/3 , (Ya+Yb+Yc)/3 > *** ●

D点
< (2Xa+3Xb)/5 , (2Ya+3Yc)/5 >
E点、F点・・・・

三角形DEFの重心g
は上記DEFの座標を●にぶち込んで・・・
重心G = 重心g。

もし、三角形の重心の定義(●式)が未定義なら・・・。
三角形の重心は『ABCの3つの中線の交点』で定義ですよね。
同様に座標設定して、先ず●式を定義(一次式より交点算出)。
その後は、本文先頭にもどって・・・。

ポイントは、
(1)一次関数
(2)A-B直線上のM : N 位置の座標は,
< (NXa+MXb)/(M+N) , (NYa+MYb)/(M+N) >

ではないでしょうか?

Q数学Ⅱ 円と直線問、円C: x∧2+y∧2-4x-2y+3=0直線l: y=-x+k が異

数学Ⅱ 円と直線

問、円C: x∧2+y∧2-4x-2y+3=0
直線l: y=-x+k が異なる2点で交わるkの範囲は
「1〈k〈5」
また、lがCによって切り取られる線分の長さが2であるとき、定数kの値を求めよ。

解答、Cの中心をC,
Cとl の2つの交点をA, B,
線分ABの中点をM とする。

CM=√AC∧2-AM∧2=1

よって |k-3|/√2 =1

k=3±√2 。。

|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

Aベストアンサー

|k-3|/√2 =1 ←これどういう意味?

これは、《 点と直線の距離の公式 》 を使っています。


点A(x₁,y₁) と 直線 ax+by+c=0 との距離dは

d=│ax₁+by₁+c│/√(a^2+b^2)

です。

x∧2+y∧2-4x-2y+3=0
(x-2)^2+(y-1)^2=2
より、円Cの中心は、点(2,1) です。
直線l を式変形して、
-x-y+k=0
となり、
これで、点(2,1) と直線 -x-y+k=0 との距離dは、
d=│-2-1+k│/√{(-1)^2+(-1)^2}=│k-3│/√2 ・・・・・①
になります。

また、Cの中心をC,
Cとl の2つの交点をA, B,
線分ABの中点をM とする。
と、
三角形CAMは、∠CMA=90° の直角三角形だから、三平方の定理より
CM=√AC∧2-AM∧2=1 ・・・・・②
になります。

d=CM なので、 ① と ② より
│k-3│/√2=1
になります。

QAB=7, AC=5, BC=8 である三角形ABCにおいて、角Aの二

AB=7, AC=5, BC=8 である三角形ABCにおいて、角Aの二等分線と辺BCとの交点をD、辺BCの中点をE、三角形ADEの外接円との辺ABの交点をFとする。

このときの、BDとBFの長さの求め方と長さを教えてください。

できるだけ、わかりやすい解説をお願いします。

Aベストアンサー

      A


   F


B-----D-E-------C

だいたいこんな図をイメージする。

(1) 「辺BCの中点をE」より BE = EC = 4.

(2) 「角Aの二等分線と辺BCとの交点をD」 より BD:DC = AC:AB = 5:7.
これには、まず、三角形ABEと三角形ADCのの面積比がAB:DCであることを示す。
(その証明のヒントは、ABDとADCが辺ADを共有していること)
そして、ABDは底辺BDで、ADCは底辺DC、高さは共通なので
ABDの面積 = 1/2 × BD × 高さ
ADCの面積 = 1/2 × DC × 高さ
この比がAC:ABなので、BD:DC = AC:AB

最後に
7BD = 5DC.
BD + DC = 8.
これを解けばよい。

(3)「角Bを共有、角BDF = 角BAEより、BFEとBEAは相似」よりBF:BE = BD:BA.
まず「角BDF = 角BAE」を示す。
これには、
「円に内接する四角形AFDEにおいて、角BAE + 角FDE = 180度」と
「角BDF + 角FDE = 180度」を用いればすぐわかる。
あとは、比を使って計算するだけです。

以上です。

      A


   F


B-----D-E-------C

だいたいこんな図をイメージする。

(1) 「辺BCの中点をE」より BE = EC = 4.

(2) 「角Aの二等分線と辺BCとの交点をD」 より BD:DC = AC:AB = 5:7.
これには、まず、三角形ABEと三角形ADCのの面積比がAB:DCであることを示す。
(その証明のヒントは、ABDとADCが辺ADを共有していること)
そして、ABDは底辺BDで、ADCは底辺DC、高さは共通なので
ABDの面積 = 1/2 × BD × 高さ
ADCの面積 = 1/2 × DC × 高さ
この比がAC:ABなので、BD:DC = AC:AB

最後に
7BD =...続きを読む


人気Q&Aランキング

おすすめ情報