1辺の長さが2の正三角形ABCがある。点Aからの距離がxでBCに平行な直線をlとする。
(1)直線lが三角形ABCと共有点を持つとき、この三角形をlの周りに回転してえられる回転体の体積Vをxの式で表せ。
(2)(1)の回転体の体積Vの最小値を求めよ。

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台形 体積」に関するQ&A: 台形の体積

A 回答 (3件)

難しいことはありません。

頑張って解きましょう!

一辺2の正三角形ABCを、BCに平行な直線を軸にして回転体を作る。その体積を求めよ。ただし軸はAからの距離がhであって、0≦h≦√3。
(ご質問ではxと書いてありますけど、hに変えました。)
という問題。

 X-Y座標系において、回転軸をX軸に一致させ、頂点AがY軸上に来るようにします。図形はY軸について鏡像対称ですから、X≧0の部分の回転体の体積が分かれば、その2倍が求める体積Vです。以下、X≧0だけについて考えます。だから底辺1、高さ√3の直角三角形についてだけ考えればよい訳です。

まずは三角形をY>0の方へX軸で折り返してみましょう。hの値によって2通りの場合ができる。
(1) 0≦h≦√3/2のとき。台形になります。


|------
|    /
|   /
+--------> X
この台形は


|-----+
|    /|
|   / |
+--------> X
長方形から、右下の直角三角形を除いた物である。
これをX軸の周りに回転させて出来る立体の体積は、(円筒の体積)-(円錐の体積)になる訳ですね。円筒と円錐、それぞれの半径と高さが分かれば、体積はすぐに求められます。

(2) √3/2≦h≦√3のとき。台形の上に直角三角形のツノが生えています。


|\
|------
|    /
+--------> X
台形の部分については、(1)と同様です。ツノについてはこう考える。


|\
|-+
| |\ 
+--------> X
大きい直角三角形から、長方形と、右下の小さい直角三角形を除いた物がツノですね。だから、
(ツノを回転してできる立体の体積)=(大きい直角三角形を回転してできる円錐の体積) -( 長方形を回転してできる円筒の体積) - (右下の小さい直角三角形を回転してできる円錐の体積)

(1)(2)共に、体積Vはhの2次式で表されます。だから(1)(2)のそれぞれの場合についてdV/dh=0になるhを求めて、それが(1)あるいは(2)の条件(0≦h≦√3/2、√3/2≦h≦√3)を満たすかどうかチェックすれば、Vが最小になるhが分かります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。解けました。

お礼日時:2001/09/11 15:04

まず、図を書きましょう。


正三角形の一辺(BC)を紙の水平にして、点Aを上に書く。
直線を適当な位置に引く。
直線をy軸とする。(xは使っているので。)右が正方向。
直線と三角形の交点をD,Eとする。
AからDEに垂線をひく。(この長さは当然x)
B,Cからy軸に垂線を引く。
それぞれのy座標は、0と2。
D,Eの座標は、xで表せます。(自分で計算してください)
それを仮に、d,eとする。
(1)0<y<dの範囲、(2)d<y<eの範囲、(3)e<y<2の範囲
に分けて考えます。
ただし、(1)と(3)は同じなので(1)を計算して2倍する。
(2)は単なる円柱になります。
(1)は円柱から、円錐を引くだけ。
体積Vを出すのは積分する必要なし。

問題(2)はxで表したVを微分して、0<x<√3の範囲の極小値を求める。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2001/09/11 15:05

この問題のどこが分からないのですか? 補足して下さい。

この回答への補足

解き方がわかりません。方針をおしえてください。

補足日時:2001/09/09 22:45
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答えは,nCr で r=n+3,r=4 です。
すっきりした解法が知りたいのです。

Aベストアンサー

これは中学生の問題にしては高等すぎます。
十分難関国公立大入試クラスでも通用すると思います。


頂点も三角格子上にあり、1辺の長さがk(kはn以下の自然数)であるような正三角形の枠を考えます。
ただし、この正三角形の枠の向きは元の正三角形と同じです。
(元の三角形の向きが△ならこれも△。▽ではない)
この枠の頂点をA(1)、B(1)、C(1)とし、各辺上の格子点を
A(1)、A(2)、A(3)、…、A(k)、B(1)
B(1)、B(2)、B(3)、…、B(k)、C(1)
C(1)、C(2)、C(3)、…、C(k)、A(1)とします。

三角形A(t)B(t)C(t)(tは1~kの自然数)は正三角形となり、
この枠上の点を利用した正三角形はこのk個で全てです。…●


三角格子から3点を選んで作られた正三角形は全てこのような枠に収まり、
枠の取り方はどの正三角形1つに付いても1つだけです。
(一部は▽である逆向きにも収まりますが、これは枠としていないので)

よってあとはこの1辺の長さkの枠が、元の正三角形からいくつ作れるかを考えて、
●よりk倍すれば、1辺の長さkの枠に収まる正三角形の数が分かります。
1辺の長さkの枠の数は、1辺の長さ(n-k)の正三角形の頂点の数と同じなので、
(△の上の頂点の数で考えると分かりやすいです)
{1+(n-k+1)}*(n-k+1)/2=(n-k+1)(n-k+2)/2
即ち1辺の長さkの枠に収まる正三角形の数は、
k(n-k+1)(n-k+2)/2=k^3/2-(2n+3)k^2/2+(n+1)(n+2)k/2

あとはこれをkについて1~nまで足し合わせれば終わり。
Σk^3/2-(2n+3)k^2/2+(n+1)(n+2)k/2
=n^2(n+1)^2/8-(2n+3)n(n+1)(2n+1)/12+n(n+1)^2(n+2)/4 (公式利用)
=n(n+1)/24 * {3n(n+1)-2(2n+3)(2n+1)+6(n+1)(n+2)} (分母を24とし、n(n+1)で括り出す)
=n(n+1)/24 * (n^2+5n+6)
=n(n+1)(n+2)(n+3)/24
=n+3 C 4

まぁこれがすっきりかどうか分かりませんが、
斜めの正三角形を処理する方法がこれしか思いつきませんでした。

これは中学生の問題にしては高等すぎます。
十分難関国公立大入試クラスでも通用すると思います。


頂点も三角格子上にあり、1辺の長さがk(kはn以下の自然数)であるような正三角形の枠を考えます。
ただし、この正三角形の枠の向きは元の正三角形と同じです。
(元の三角形の向きが△ならこれも△。▽ではない)
この枠の頂点をA(1)、B(1)、C(1)とし、各辺上の格子点を
A(1)、A(2)、A(3)、…、A(k)、B(1)
B(1)、B(2)、B(3)、…、B(k)、C(1)
C(1)、C(2)、C(3)、…、C(k)、A(1)とします。

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方べきの定理を使用します。
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垂線の長さをbとする。
面積は、ab/2
正三角形の1辺をcとすると、面積は((√3)c^2/4)
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ですので、2a/3の線分を作るには、平行線を利用することにより作図できます。
次に、(√3)bを作図しますが、此は1辺がbの正方形を作図して、対角線をとりますと、(√2)bが出来ます、
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Aベストアンサー

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座標を設定しましょう。
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三角形DEFの重心g
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同様に座標設定して、先ず●式を定義(一次式より交点算出)。
その後は、本文先頭にもどって・・・。

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ではないでしょうか?

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直線l を式変形して、
-x-y+k=0
となり、
これで、点(2,1) と直線 -x-y+k=0 との距離dは、
d=│-2-1+k│/√{(-1)^2+(-1)^2}=│k-3│/√2 ・・・・・①
になります。

また、Cの中心をC,
Cとl の2つの交点をA, B,
線分ABの中点をM とする。
と、
三角形CAMは、∠CMA=90° の直角三角形だから、三平方の定理より
CM=√AC∧2-AM∧2=1 ・・・・・②
になります。

d=CM なので、 ① と ② より
│k-3│/√2=1
になります。

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Aベストアンサー

No.3
△BCEはCB=CEだから二等辺三角形。
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△ABEは∠BAE=60°、∠AEB=30°だから、∠ABE=Rの直角三角形。

No.5
△BCEはBC=CD=3なので、二等辺三角形。
∠BCD=60°
△BCEは二等辺三角形なので、∠CBD=∠CDB=(180°-∠BCD)÷2=60°
∠CBD=∠CDB=∠BCD=60°
よって
△BCEは正三角形。

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Aベストアンサー

      A


   F


B-----D-E-------C

だいたいこんな図をイメージする。

(1) 「辺BCの中点をE」より BE = EC = 4.

(2) 「角Aの二等分線と辺BCとの交点をD」 より BD:DC = AC:AB = 5:7.
これには、まず、三角形ABEと三角形ADCのの面積比がAB:DCであることを示す。
(その証明のヒントは、ABDとADCが辺ADを共有していること)
そして、ABDは底辺BDで、ADCは底辺DC、高さは共通なので
ABDの面積 = 1/2 × BD × 高さ
ADCの面積 = 1/2 × DC × 高さ
この比がAC:ABなので、BD:DC = AC:AB

最後に
7BD = 5DC.
BD + DC = 8.
これを解けばよい。

(3)「角Bを共有、角BDF = 角BAEより、BFEとBEAは相似」よりBF:BE = BD:BA.
まず「角BDF = 角BAE」を示す。
これには、
「円に内接する四角形AFDEにおいて、角BAE + 角FDE = 180度」と
「角BDF + 角FDE = 180度」を用いればすぐわかる。
あとは、比を使って計算するだけです。

以上です。

      A


   F


B-----D-E-------C

だいたいこんな図をイメージする。

(1) 「辺BCの中点をE」より BE = EC = 4.

(2) 「角Aの二等分線と辺BCとの交点をD」 より BD:DC = AC:AB = 5:7.
これには、まず、三角形ABEと三角形ADCのの面積比がAB:DCであることを示す。
(その証明のヒントは、ABDとADCが辺ADを共有していること)
そして、ABDは底辺BDで、ADCは底辺DC、高さは共通なので
ABDの面積 = 1/2 × BD × 高さ
ADCの面積 = 1/2 × DC × 高さ
この比がAC:ABなので、BD:DC = AC:AB

最後に
7BD =...続きを読む


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