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1辺の長さが2の正三角形ABCがある。点Aからの距離がxでBCに平行な直線をlとする。
(1)直線lが三角形ABCと共有点を持つとき、この三角形をlの周りに回転してえられる回転体の体積Vをxの式で表せ。
(2)(1)の回転体の体積Vの最小値を求めよ。

A 回答 (3件)

難しいことはありません。

頑張って解きましょう!

一辺2の正三角形ABCを、BCに平行な直線を軸にして回転体を作る。その体積を求めよ。ただし軸はAからの距離がhであって、0≦h≦√3。
(ご質問ではxと書いてありますけど、hに変えました。)
という問題。

 X-Y座標系において、回転軸をX軸に一致させ、頂点AがY軸上に来るようにします。図形はY軸について鏡像対称ですから、X≧0の部分の回転体の体積が分かれば、その2倍が求める体積Vです。以下、X≧0だけについて考えます。だから底辺1、高さ√3の直角三角形についてだけ考えればよい訳です。

まずは三角形をY>0の方へX軸で折り返してみましょう。hの値によって2通りの場合ができる。
(1) 0≦h≦√3/2のとき。台形になります。


|------
|    /
|   /
+--------> X
この台形は


|-----+
|    /|
|   / |
+--------> X
長方形から、右下の直角三角形を除いた物である。
これをX軸の周りに回転させて出来る立体の体積は、(円筒の体積)-(円錐の体積)になる訳ですね。円筒と円錐、それぞれの半径と高さが分かれば、体積はすぐに求められます。

(2) √3/2≦h≦√3のとき。台形の上に直角三角形のツノが生えています。


|\
|------
|    /
+--------> X
台形の部分については、(1)と同様です。ツノについてはこう考える。


|\
|-+
| |\ 
+--------> X
大きい直角三角形から、長方形と、右下の小さい直角三角形を除いた物がツノですね。だから、
(ツノを回転してできる立体の体積)=(大きい直角三角形を回転してできる円錐の体積) -( 長方形を回転してできる円筒の体積) - (右下の小さい直角三角形を回転してできる円錐の体積)

(1)(2)共に、体積Vはhの2次式で表されます。だから(1)(2)のそれぞれの場合についてdV/dh=0になるhを求めて、それが(1)あるいは(2)の条件(0≦h≦√3/2、√3/2≦h≦√3)を満たすかどうかチェックすれば、Vが最小になるhが分かります。
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この回答へのお礼

ありがとうございました。解けました。

お礼日時:2001/09/11 15:04

まず、図を書きましょう。


正三角形の一辺(BC)を紙の水平にして、点Aを上に書く。
直線を適当な位置に引く。
直線をy軸とする。(xは使っているので。)右が正方向。
直線と三角形の交点をD,Eとする。
AからDEに垂線をひく。(この長さは当然x)
B,Cからy軸に垂線を引く。
それぞれのy座標は、0と2。
D,Eの座標は、xで表せます。(自分で計算してください)
それを仮に、d,eとする。
(1)0<y<dの範囲、(2)d<y<eの範囲、(3)e<y<2の範囲
に分けて考えます。
ただし、(1)と(3)は同じなので(1)を計算して2倍する。
(2)は単なる円柱になります。
(1)は円柱から、円錐を引くだけ。
体積Vを出すのは積分する必要なし。

問題(2)はxで表したVを微分して、0<x<√3の範囲の極小値を求める。
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この回答へのお礼

ありがとうございました

お礼日時:2001/09/11 15:05

この問題のどこが分からないのですか? 補足して下さい。

この回答への補足

解き方がわかりません。方針をおしえてください。

補足日時:2001/09/09 22:45
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