解析学の問題です。 s>1とする。 S_n=Σ［k=1,2^n-1］1/k^s で定められる数列｛S

解析学の問題です。

s>1とする。
S_n=Σ［k=1,2^n-1］1/k^s
で定められる数列｛S_n｝が上に有界であることを示せ。

よろしくお願いします。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/16 13:47

Σ の範囲がわざわざ k=1, 2^n-1 にしてあるってことは、

S_n = Σ［j=1, n］ Σ［k=2^(j-1) ,2^j-1］ 1/k^s
　　< Σ［j=1, n］ Σ［k=2^(j-1) ,2^j-1］ 1/( 2^(j-1) )^s
　　= Σ［j=1, n］ (2^j) { 1/( 2^(j-1) )^s }
　　= Σ［j=1, n］ 2^(s-(s-1)j)
　　= (2^s) Σ［j=1, n］ { (1/2)^(s-1) }^j
って変形を暗に誘導してるんだろうけどね。
s > 1 より 0 < (1/2)^(s-1) < 1 だから
S_n < (2^s) / { 1 - (1/2)^(s-1) } となって有界。

No.1 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/16 09:12

Σ［k=1,m］1/k^s ≦ 1+∫[x=1〜m](x^(-s)) dx

を使うと吉。ところで「ζ関数」は実に深い話。