f(x)=exp(-(2x-a)^2)のフーリエ変換の求めろという問題分かりません。教えて欲しいです

f(x)=exp(-(2x-a)^2)のフーリエ変換の求めろという問題分かりません。教えて欲しいです。

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/19 19:45

ただ普通に、定義どおり計算すればいいじゃない？

F(ω) = ∫[-∞,+∞] f(x) e^(iωx) dx
　　　= ∫[-∞,+∞] e^( -(2x-a)^2 ) e^(iωx) dx
の積分を実行する。
パッと思いつくやり方はふたつかな。
(1)
e^(iωx) をオイラーの等式で展開して、
実部と虚部の積分をそれぞれ計算する。
∫[-∞,+∞] e^( -(2x-a)^2 ) cos(ωx) dx と
∫[-∞,+∞] e^( -(2x-a)^2 ) sin(ωx) dx は、
どちらもガウス積分を優関数積分に持つから
両端広義積分といっても絶対収束であり、
有界区間上の積分と同様に扱える。
部分積分で行けるね。
(2)
F(ω) = e^( -a^2+ω^2 /16 ) ∫[-∞,+∞] e^( -(2x-a-iω/4)^2 ) dx
と変形できるが、 u = 2x-a-iω/4 でガウス積分に帰着しようとすると
積分路が実軸でなくなる。そこで
実軸上に一辺を置く長方形上の閉路積分を考えて
長方形の横幅を →∞ に極限すれば、
縦辺上での積分が →0 になることから
コーシーの積分定理によって上記の積分の値が得られる。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2022/12/19 12:04

その問題のどこがわからないのか, 具体的に明らかにしてほしい.