「掛け算は足し算」だということで、たとえば3×3だと、3を3回足すという意味で3+3+3=9。
-3×3ならば-3+(-3)+(-3)=-9と、ここまではわかるのです。
 マイナスにマイナスを掛けると、何故プラスになるのでしょう? 
-3×-3=9を、足し算の式に直すにはどう考えればよいのでしょうか?
-3を-3回足すというのはどういうことなのですか?
-3-(-3)-(-3)? でもこれじゃ-3+3+3で答えは3になっちゃいます。
数学が苦手で40過ぎてこんなこともわかりません。よろしくお願いします。

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A 回答 (5件)

#1です。



>最初の0はどこからきたのでしょう。

引き算というのは、
何かから何かを引くことを言います。

何もないところから引き算するわけですから、
何もないというのはゼロになります。


質問文中の、3回足すというのも、
3+3+3では+が2個で2回しか足していません。

+が3つあって初めて3回足したといえるのであって、
実際には、何もないところに3回足しているので、

0+3+3+3 = 9 になるのです。
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この回答へのお礼

なるほど! と思わず手をポンとやっちゃいそうになりました。
おかげさまでNo.2の方の最初の-の意味も理解できました。ありがとうございました。
他の3名の方も丁寧なお答えありがとうございました。
自分の理解力が足らないのに、屁理屈のようなお答えをしてしまいまして、ご気分を害された方がおられましたら申し訳ありませんでした。
でも、数学わからん人間には(汗!)ホントに理解できないのですよ・・・。
これを機会に今更ですが少し勉強してみたいと思います。
ありがとうございました。

お礼日時:2005/04/13 00:22

こちらがわかりやすかったです。



マイナスの掛け算 - 羊堂本舗 ちょき
http://sheepman.parfait.ne.jp/wiki/pukiwiki.php? …

参考URL:http://sheepman.parfait.ne.jp/wiki/pukiwiki.php? …
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この回答へのお礼

う~ん・・・。
こういうのを「数学的な考え方」というのでしょうか?
でも、正直言って3段目以降の式はもう一つクリヤーに理解できません。
何だかゴマカされたみたいな気分になっちゃうんですよね。
でも、ありがとうございます。

お礼日時:2005/04/12 23:38

ちょっとシュミレーションして見ましょう。


左右に延びた線の一点(ゼロ点)にゴムの端っこが止められています。
掛け算は、この場合、ゴムを引っ張って伸ばすことだと考えてください。
最初の数字(いわゆる掛けられる数)は、最初のゴムの長さで、後の数字(いわゆる書ける数)は、ゴムを引っ張る力の大きさです。掛ける1だと力を入れない状態、掛ける2だと倍の長さに引っ張られている状態。わかりやすくするために、両方の数字がプラスの場合は、右に伸びたゴムを、右に引っ張ることにしておきます。
さて、最初の数字がマイナスのときは、引っ張る前のゴムが、左のほうを向いていることを意味します。
そして、後の数字がマイナスのときは、引っ張る方向が逆になることを意味します。
なので、マイナス掛けるプラスのときは、左に向いたゴムをそのまま左に伸ばします。
プラス掛けるマイナスのときは、右に向いたゴムを逆方向の左に引っ張ります。
そして、マイナス掛けるマイナスのときは、左に向いたゴムを逆方向の右に引っ張るのです。

わかっていただけましたか?
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この回答へのお礼

つまり-3×-3は、
「左方向に3の長さのゴムを右方向に3倍伸ばす」
ということなのでしょうか?
あのー・・・すみません。つまんないコト聞くようですが
怒らないでくださいね。
ゴムのどこを持って引っ張るんですか?
左に向いたゴムの左端を持って引っ張る場合、止めてあるところに力が作用するまでは、ただペロンとゴムの向きが変わるだけですよね?
それって、数学的にいうとどういうことなのでしょう?
ごめんなさい。全然わかりません。

お礼日時:2005/04/12 23:48

>-3を-3回足すというのはどういうことなのですか?



何かにたすと考えずに、-3が-3個あると考えれば、
-3-(-3)-(-3)
ではなくて、
-(-3)-(-3)-(-3)
になります。

***

概念的に考えるなら、マイナスを形にしやすいものがいいでしょう。
たとえば貯金と借金。
貯金はプラス、借金はマイナスと考えましょう。
・300円の貯金を3回すれば、合計900円
・300円の借金を3回すると、合計-900円

さらに、回数のマイナスですが、帳消しにしたと考えてみましょう。
・300円の貯金を3回したことを帳消しにする。
  → 300円×(-3)=-900円
  900円の減
・300円の借金を3回したことを帳消しにする。
  → -300円×(-3)=900円
  900円のプラス

あんまりわかりやすいたとえかはわかりませんが、
参考になれば。
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この回答へのお礼

No.1の方のお答えの、最初に0がつくのもそうなのですが、
-(-3)-(-3)-(-3)の式の、最初の-は
どうしてつくのですか?
そこがわかれば理解できそうなのですが・・・。

お礼日時:2005/04/12 23:55

0 - (-3) - (-3) - (-3) = 9です。



「足す」の反対は「引く」なので、3回引けばよいのです。
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この回答へのお礼

最初の0はどこからきたのでしょう。
数学わからん人間には、こういう理屈が一番わかんないのです。

お礼日時:2005/04/12 23:50

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Q小数の掛け算の意味の認識として以下は正しいですか?

小数の掛け算の意味の認識として以下は正しいですか?

→掛けられる数を基準(1として)に、掛ける数だけ集まっている。
◆整数×小数
→(例:ジュース2lの0.5倍
   2×0.5=1
 ポイント:0.5=1/2だから、つまり、2lを2等分した内の1つが集まっている。

◆小数×整数
→ジュース0.5lが2倍
 0.5×2=1
ポイント:0.5lが2倍(2つ分)集まっている


◆小数×小数
→ジュース0.5lの0.5倍
0.5×0.5=0.25

Aベストアンサー

>>小数の掛け算の意味の認識として以下は正しいですか?

これは,正しい,正しくない,の問題ではなく,定義をいかにするかの問題です.

● 「掛けられる数を基準として,掛ける数だけ集まっている。と考える.」
という定義にすれば,質問者さんの書いたように言えます.

一方で,

● 「掛ける数を基準として,掛けられる数だけ集まっている。と考える.」
という定義にすると,質問者さんの書いた逆になります.

要するに,何をどう考え,どう表現するかを定義しないと数学的な議論は始められません.

質問者さんは,先入観にとらわれて,それをそのまま書かれている様に思えます.
小学校や中学校での数学の教科書に書かれている決まり事は,定義そのものなのです.
定義という言葉を使わない場合も多いですが・・・.

もし,質問者さんが,社会の一般認識としてどうか? という問いかたをしているのであれば,
答えは確定せず曖昧となるでしょう.

数学的に,きちんと言葉や数式の構造などを定義した上でないと確定的な議論ができません.

Q直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限らないので、
結果
2t+3s=0 t-4s=-11となり、
t=-3、s=2となりました。
交点は(x、y)=(3.1)となりました(答)

問題2は
(1)の方向ベクトルと(2)の方向ベクトルがどのようにしたら求めてよいのか解らないのでとけませんでした。 いままで学んだ内容だと、二点P1(-1,3),P2(2,-1)をとおる媒介変数tを表せという問題をといてきて、
単純にp1p2=(x-x1,y-y1) をやって方向ベクトルをもとめ、x=x1+tl,y=y1+tmの公式にしたがってx=-1+3t,y=3-4tと方向ベクトルを求めていたのですけど、
今回はx-x1にあたる部分が題意を読んで何処なのかわかりませんでした。

題意のx=-3-2t、y=4+t (1)と(2)の式からx1の部分をー3、y1の部分を4とみるのでしょうか?
そうすると、x-x1、y-y1のx1とy1の部分はわかるのですけど、xとyが解らないので、引き算ができず、方向ベクトルが求まりませんでした。

答えをみるとl→=(-2,1)(1) m→=(-3、-4)(2)となってました。どうやったらこのように求まるのでしょうか?

問題3は手が付けられませんでした>_<

だれかこの問題詳しく教えてください、宜しくおねがいします!!>_<

問題1
直線 x=-3-2t、y=4+t ...(1) と直線 x=-3+3t, y=-7+4t....(2)のグラフを書き、その交点を求めよ。

問題2
直線(1)、(2)のなす角をΘ(0°≦Θ≦90°)とするとき、CosΘを求めよ。

問題3
直線(1)と(2)について、それぞれの方向余弦のうち、xの値が正であるものを求めよ。

⇔問題1はとけましたけど、問題2と3がわかりませんでした。

まず問題1は、x=-3-2t=-3+3s y=4+t=-7+4sとしました。sと置き換えたのは=とした時にtの値が同じとは限...続きを読む

Aベストアンサー

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=(-2*3+1*4)/√(4+1)・√(9+16)
=(-2)/(5√5)
=(-2√5)/25

となります。cosがマイナスなので、θは90°よりも大きいことが判ります。今、0≦θ≦90°なので、求めたい値は、

cos(180°-θ)
=-cosθ
=2√5/25

となります。

答の中で、(2)の方向ベクトルを(-3,-4)としているのは、最初から0≦θ≦90°を考慮しているためです。

宿題かも知れませんが、きちんと自分でお考えのようなので。

(2)です。

直線(1)は、(x,y)=(-3,4)+t(-2,1)
直線(2)は、(x,y)=(-3,-7)+t(3,4)

と書けます。ということは、

直線(1)は、点(-3,4)を通って、ベクトル(-2,1)に平行な直線
直線(2)は、点(-3,-7)を通って、ベクトル(3,4)に平行な直線

ということなので、2直線のなす角θは、2つのベクトル(-2,1),(3,4)[←これって、それぞれの直線の方向ベクトルです。]のなす角と同じか、又は、「180°-なす角」です。すると、内積を考えて、

cosθ=...続きを読む

Q監査リスクモデル算出の掛け算の意味

場違いかもしれませんが、質問させてください。

今、監査の勉強をしています。監査とは株式公開企業が財務諸表を作成し、監査人(公認会計士)がこの財務諸表に関して、規則にしたがって作成されているかどうか、財務諸表を使う利害関係者に証明するものです。

本来なら、取引を全部調べるといいんですが、それだと費用対効果からして効率的とはいえません。そこで短い時間の間に効率的かつ効果的に監査をしていくそうです。

統計学上5%の監査人が意見を誤ってしまうことは許される
そうです。その公式とは

監査上のリスク=固有の危険X内部統制上の危険X
        監査手続上の危険

監査上のリスク=財務諸表に重要な虚偽記載が含まれているにもかかわらず、監査人がこれを発見できずに誤った意見を表明する可能性

固有の危険=内部統制が存在していない仮定の上で、重要な虚偽記載が生じる可能性

内部統制上の危険=重要な虚偽記載が内部統制によって、防止又は随時に発見されない可能性

監査手続上の危険=虚偽記載が存在しているにもかかわらず、監査人の監査手続が、重要な虚偽記載が存在していないという、誤った結論を導き出してしまう可能性

以上、前置きがながくなりましたが、なぜ、監査上のリスクを算出するのにそれぞれのリスクを掛算していかなければならないのですか。確率と関係があるのですか。

 

場違いかもしれませんが、質問させてください。

今、監査の勉強をしています。監査とは株式公開企業が財務諸表を作成し、監査人(公認会計士)がこの財務諸表に関して、規則にしたがって作成されているかどうか、財務諸表を使う利害関係者に証明するものです。

本来なら、取引を全部調べるといいんですが、それだと費用対効果からして効率的とはいえません。そこで短い時間の間に効率的かつ効果的に監査をしていくそうです。

統計学上5%の監査人が意見を誤ってしまうことは許される
そうです。その公式と...続きを読む

Aベストアンサー

確率論と考えていただいて間違いないと思います。

以下、前述の回答と重なりますが、もう少しかみ砕いた表現といたします

内部統制が存在いて、この点から虚偽記載がされなかった(固有リスク0%)とすると、虚偽の記載がなされないわけですから他のリスクがあったとしても、虚偽の記載はされません。

内部統制で充分なチェック体制が完璧であれば、虚偽の記載があったとしてもそれを100%発見できる(内部統制上リスク0%)のであれば、虚偽記載を防げます

監査手続きが完璧であれば、重要な虚偽記載を100%発見できる(監査手続きリスク0%)であれば、虚偽の記載を防げます。

上記のように何れかで100%チェックできるのであれば他が100%でなくとも虚偽記載は防げます

ここまでは、前述と同じです。

例えば、固有の危険の項目で10回に1回、内部統制上の危険の項目で10回に1回それぞれで見逃しがあったとします。
固有危険で見逃された1回が内部統制上でも見逃される確率は10分の1ですよね
つまり、10回のうち、固有の危険と内部統制上の危険の両方が見逃されるのは10分の1回ということになります。
分数だとわかりにくいので整数に直します。
100回のうち、固有の危険と内部統制上の危険の両方が見逃されるのは1回ということになります。

ここで、監査手続上の危険でも10回に1回の見逃しがあったとすると、同様に
3つの危険が見逃されるのは100回に10分の1回です。
整数に直すと1000回に1回です。
確率で申し上げると、1000分の1の確率で見逃すということですから
0.1%ということとなります。

0.1×0.1×0.1=0.1%

私はというように理解したのですが、どうでしょうか?

確率論と考えていただいて間違いないと思います。

以下、前述の回答と重なりますが、もう少しかみ砕いた表現といたします

内部統制が存在いて、この点から虚偽記載がされなかった(固有リスク0%)とすると、虚偽の記載がなされないわけですから他のリスクがあったとしても、虚偽の記載はされません。

内部統制で充分なチェック体制が完璧であれば、虚偽の記載があったとしてもそれを100%発見できる(内部統制上リスク0%)のであれば、虚偽記載を防げます

監査手続きが完璧であれば、重要な虚...続きを読む

Qf(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3)

(問題)xの三次関数f(x)があって、f(1)=1,f(2)=4,f(3)=9,f(4)=34であるとき、f(5)を求めなさい。

解答は別解がいろいろあったのですが、そのうちの一つがわかりませんでした。それは次のように書いてありました。

f(x)=A(x-2)(x-3)(x-4)+B(x-1)(x-3)(x-4)+C(x-1)(x-2)(x-4)+D(x-1)(x-2)(x-3) のように置くと、A,B,C,Dが容易に求めることができる。

なぜこのように表せるのか、どうしてこう思いついたのか、わかりません。考え方を教えてください。よろしくお願いいたします。答えはf(5)=97です。

Aベストアンサー

ranx さんの言うように、
x=1, x=2, x=3, x=4 の場合の解が与えられているので、
その際にどれかがゼロになるように、式を与えれば、
あとは、連立一次方程式で、元が4個で方程式が4本
なので、簡単に解けるわけです。

それぞれ代入した式4本を書いてみればわかると思います。解けるでしょ?
最後まで解かなくても、f(5) は、A,B,C,D を使って
出すことはできますね。

Q「かける」はなぜ「かけ算・multiply」の意味をもった?

「たす」は、もともとの意味そのままです。
「ひく」は、元のものからいくらか引っ張ってきて元のものが減ると考えれば理解できます。
「わる」は、割っていくつかのものになった一つを考えれば理解できます。

しかし、「かける」の意味は、液体や布を物の上に広げて乗せるような動作です。
この意味から「かけ算」の概念は出てこない気がします。
なぜ日本語でmultiplyのことを「かける」というのでしょうか?

Aベストアンサー

「掛ける」は古語では「掛く」ですね。
手元の古語辞典には十種類もの意味が載っていますが、その中に「ある物の上に他を加える」とあり、例文として「五割掛けて売る」とあります。

そこで、わが国最初の数学書「塵劫記」に、「掛く」が掛算の意味で使われているかを調べると、次の用例があります。

「右に十三俵と置、又左に十三俵とおきて、これにうえの一俵くわえて十四俵と成。これを右へ掛くれば百八十二俵に成。是を二つに割れば、九十一俵としれ申候也。」
また、
「六里に馬三匹を掛くれば十八里となり、これを四人で割れば四里半となる。」

「塵劫記」が出たのは江戸初期の寛永4年(1627年)ですから、この当時すでに「掛ける」という意味があったということですね。
そこから「掛け算」という言葉ができたと思います。

http://homepage1.nifty.com/zpe60314/jinkokiindex.htm

「掛く」は、古語辞典では、掛ける、吊り下げる、取り付ける、かぶせる、掛け渡す、兼ねる、(錠を)閉ざす、心に思うなど、多くの意味があって、なぜ数学で使う「かける」という意味になるかということは分かりません。
「塵劫記」に使われているというのも一つの答えだと思います。

「掛ける」は古語では「掛く」ですね。
手元の古語辞典には十種類もの意味が載っていますが、その中に「ある物の上に他を加える」とあり、例文として「五割掛けて売る」とあります。

そこで、わが国最初の数学書「塵劫記」に、「掛く」が掛算の意味で使われているかを調べると、次の用例があります。

「右に十三俵と置、又左に十三俵とおきて、これにうえの一俵くわえて十四俵と成。これを右へ掛くれば百八十二俵に成。是を二つに割れば、九十一俵としれ申候也。」
また、
「六里に馬三匹を掛くれば十八...続きを読む

Q4x^2-9y^2+28x+49=(2x+3y+7)(2x-3y-7)について

4x^2-9y^2+28x+49
を因数分解しなさいという問題で、解法は
4x^2-9y^2+28x+49
=(4x^2+28x+49)-9y^2
=(2x+7)^2-(3y)^2
=(2x+7+3y)(2x-7-3y)
=(2x+3y+7)(2x-3y-7)・・・(答え)
ですが、
多項式は次数の多いものからかっこでくくるといいと教えられたので、私はこの解法が思いつかず、
4x^2-9y^2+28x+49
=4x(x+7)-(9y^2-49)
=4x(x+7)-(3y+7)(3y-7)
とやってしまい、これ以上進まずに躓いてしまいました。

この因数分解はどのような規則から成り立ち、どうすればこの解法が思いつきますか?

Aベストアンサー

>多項式は次数の多いものからかっこでくくるといいと教えられたので

これは確かにそうなのですが,
複数の文字がある場合は「どれか一つの文字に注目する」という
視点が必要です.
いわゆる「降べきの順」です

4x^2-9y^2+28x+49
=4x^2+28x-9y^2+49

こうすると,4x^2=(2x)^2 ですので

=(2x)^2 + 14・(2x) -9y^2+49

(2x)をかたまりと考えて,
掛け算して -9y^2+49 足し算して 14 になる式を考えます
一番基本的な因数分解です
49とか14があるので,怪しいのは 7 と疑えますし
そうすれば,-9y^2+49 は-(3y+7)(3y-7) なのもすぐ見えます
かけて -9y^2+49 になるのは -1 3y+7 3y-7 ですので
これを組み合わせて「足して14」となるのならば
y がじゃまなので -3y+7 3y+7 です
ですので

= ( (2x)-3y+7 ) ( (2x)+3y+7 )
=(2x-3y+7)(2x+3y+7)

です。質問文はタイプミスです.

一般論です.
どんな二次式でも因数分解できならば
かならず,1次式と一次式の積になります.
かならず答えは
(ax+by+c)(a'x+b'y+c') という形の式の積です
文字がx,yだけではなくて,
もっと増えても本質は同じです.

つまり,二次式であれば,効率性を考えなければ
かならず,上で挙げたような「降べき」で整理して
たすきがけを行えば必ず解けるんです.

また,(ax+by+c)(a'x+b'y+c')と因数分解できるのであれば
No.2さんのおっしゃるとおり
(ax+by+c)(a'x+b'y+c')=0という方程式は
x=-(bx+c)/a, -(b'y+c)/a'
という「解」を持ちます.そこを逆手にとって
最初から「降べき」に整理して
二次方程式の解の公式に持ち込んでしまうというのもありです.

どうやるにしろ,因数分解は
ひたすら経験を積んで,最短(と思われる方法で)
直感で解けるようになることが必須です.
試行錯誤の積み重ねが必要です.

>多項式は次数の多いものからかっこでくくるといいと教えられたので

これは確かにそうなのですが,
複数の文字がある場合は「どれか一つの文字に注目する」という
視点が必要です.
いわゆる「降べきの順」です

4x^2-9y^2+28x+49
=4x^2+28x-9y^2+49

こうすると,4x^2=(2x)^2 ですので

=(2x)^2 + 14・(2x) -9y^2+49

(2x)をかたまりと考えて,
掛け算して -9y^2+49 足し算して 14 になる式を考えます
一番基本的な因数分解です
49とか14があるので,怪しいのは 7 と疑えますし
そうすれば,-...続きを読む

Q ^  と * の意味を教えてください 

物理の本を読んでいると「^」や「 * 」という記号が
よく出てくるのですが何のことか分かりません。

流れ的に*はかけ算のことかしら?2乗のことかしら?と思ったりもしましたが(汗

あまりに基本的そうな質問で申し訳ないのですが、よろしくお願いします。

Aベストアンサー

みなさんのおっしゃる通りで、
恐らく物理の演算をパソコンのプログラム
で組む時の解説であると思います。

-------------------------
BASIC や Visual Basic (EXCELやAccessでも使用する
コード)でも共通です。
X^N = xのN乗
A*B*C = A x B x C の事です。
--------------------------

QP=-a×ln×T+b と ln×P=a×F+b

P=-a×ln×T+b と ln×P=a×F+b の2つの式を1つにまとめて
P=の式にしたいのですが、、、どうなるのでしょうか?
後輩に聞かれ何も答えれず(汗)
自然対数とかそんな感じのでしたよね?

簡単な質問かもしれませんが教えてくださいお願いいたします。

Aベストアンサー

P=-a×ln×T+b  …(*)

ln×P=a×F+b
  ↓
ln=(a×F+b)/P
これを (*) へ代入、
P=-a×(a×F+b)/P×T+b
(P-b)×P=-a×(a×F+b)×T = A

P^2 - bP - A = 0
だから、
P = {b ±√(b^2 + 4A)}/2

…という結論?

  

Q分数の掛け算・割り算の3つの数の計算の仕方を・・

分数のかけ算・わり算の3つの数の計算の仕方を忘れてしまいましたので教えてほしいです

(1)○÷○÷○、(2)○×○÷○、(3)○÷○×○、(4)○×○×○

この4つすべての計算の仕方教えてくだされば幸いです。(○の部分の分数は何でもいいです)

よろしくお願いします

Aベストアンサー

()や指数、足算引算が無く、ただ分数の乗除の混成ならば、とにかく左から計算するのに慣れれば良いですよ。ただし、÷○/●は×●/○。つまり逆数にして掛け算にするだけ。

Qa[1]=3,4a[n+1]=12a[n]-2×{3^(n-1)}×n

a[1]=3,4a[n+1]=12a[n]-2×{3^(n-1)}×n+3^(n-1)
で、
Σa[k](k=1~n)を最大にするnの最小を求めよ。

まず、一般項a[n]=-3^(n-2){n^2-2n-3)/4 を求めました。
このあとΣの値を求められません。
よろしくお願いします。

Aベストアンサー

a[n] が正だったら,足せば合計は大きくなります.
a[n] の符号変化を見て,負になる前まで足せば,
そこが合計が最大になる場所の候補です.


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