連立一次方程式の不定解についての質問です。 不定解とはなんですか？2つの直線が重なっていて、無数の共

連立一次方程式の不定解についての質問です。
不定解とはなんですか？2つの直線が重なっていて、無数の共有点を持っている状態ではありませんか？
また、不定解を持つための条件であるa1:a2＝b1:b2＝c1:c2はなぜ成り立つのでしょうか？
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2022/12/29 20:57

> 2つの直線が重なっていて、無数の共有点を持っている状態ではありませんか？

はい。まさしくその通りです。

　一次方程式
　　x - y = 0
の解は何か。「解けない」と言ったら誤りです。実際、(x,y)=(0,0)も、 (x,y)=(1,1)も、 (x,y)=(π,π)も解です。解が1個だとは限らないし、この場合には無限個の解がある。で、解の集合S
　　S={ (x,y) | x - y = 0}
を直交座標でプロットすると直線が現れる。（それでこの方程式を「直線の方程式」と呼ぶ。）

　さて、連立一次方程式
　　x - y = 0
　　2x - 2y = 0
の解の集合T
　　T={ (x,y) | x - y = 0 ∧ 2x - 2y = 0}
は Sと同じ集合ですね。（"∧" は「and」あるいは「かつ」と読みます。）だからTの要素は無限個ある。これを「不定」と呼んでいる。

　ついでに、連立一次方程式
　　x - y = 0
　　x - y = 1
の解の集合U
　　U={ (x,y) | x - y = 0 ∧ x - y = 1}
は空集合ですね。
　　U=∅
これを「不能」と呼んでいる。そんだけのことです。

> 不定解を持つための条件

　「未知数の個数と同じ（かそれ以上）の個数の等式があるかのように見えていても、実はそのうちのいくつかが他の式の組み合わせで表せて（だから無いのと同じで）、実質的には未知数の個数より等式の個数の方が少ない」ということが生じているかどうか、という話です。

No.6 回答者： sc348253 回答日時： 2022/12/30 14:31

意味的には、みなさんの言う通りです。

具体的には、
逆さまに考えればわかるでしょう　つまり
a1:a2=b1:b2=c1:c2=p:q (p,qは定数とおく）とすれば
a1=(p/q)・a2 =k・a2 　　　・・・（１）
とおけば（ｋ＝（ｐ・ｑ）とおく）　ただし　ｐ、ｑは０でないとする。
同様に　b、©も同じ関係になるので　・・・（２）、（３）
（１）、（２）、（３）を（ア）式に代入すれば　結局
（ア）式は、（イ）の　k倍になるから
見かけはちがっても、方程式としては同じもの
（つまり、０/k＝０　だから）ただし　ｋは０でないとなるから
つまり　直線的には一致するから解が無数に存在する。
　それに反して　交点がなければ　解はないことになる。
例えば
今　（ア）、（イ）の右辺が両方とも　０　または　同じ場合は不定解になるが
もし　一致しなければ　解はなしとなる。

No.5 回答者： ありものがたり 回答日時： 2022/12/29 22:17

「不定解」とは、

解が複数あって、その方程式だけでは解がひとつに定まらない
という意味です。
一方、「不正解」というのは、解だと言っているものが間違っている
という意味で、
両者は全く異なります。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2022/12/29 21:46

a1:a2＝b1:b2＝c1:c2

は大雑把過ぎますね。

例えば
a1=0、b1=1、c1=1
a2=0、b2=2、c2=2
なら明らかに不定解だけど(解は直線y=-1上の全ての点)
0:0=1:2=1:2

は成立しない。

同じ直線になる条件はもうちょい場合分けが必要。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2022/12/29 21:21

「不定解」とは「解が 1つに定まらない」と云う事です。

文字に添え字を付けるのは めんどくさいので、
実際の数字で 説明します。
連立一次方程式で 不定解になるのは 次のような場合です。
2x+3y=4, 4x+6y=8 。
式が 2つあるように見えて 実は同じ式と云う事です。
つまり 2:4=3:6=4:8 これが 不定解を持つ 条件になります。
言い変えれば あなたが云う通り 同じ直線になります。

No.1 回答者： mabuterol 回答日時： 2022/12/29 18:30

添字が書きづらいから大文字と小文字にするけど

Ax + By + C = 0
ax + by + c = 0

y = - (Ax + C) / B
y = - (ax + c) / b

A / B = a / b
C / B = c / b

B = A b / a = C b / c
⇒ A / a = C / c
この値を p とすると

A = p a
C = p c

p c / B = c / b
⇒ B = p b

つまり
A = p a
B = p b
C = p c