写真の数学の問題です。写真に星マークをつけたところなのですが、なぜ、α≠βといいきるるのでしょうか？

写真の数学の問題です。写真に星マークをつけたところなのですが、なぜ、α≠βといいきるるのでしょうか？α＝βの可能性もあるのではないかと思います。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/01/06 18:39

2次方程式の根と係数の関係とは

2次方程式の「2つの根」と係数の関係。

片方だけ使ってはいけないんだ。

和と積が別の値になってしまうよ。
計算してみればすぐ分かるけど。

No.3 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/04 21:30

sinθ+cosθ=√(3/2)

sinθcosθ=1/4
α=sinθ
β=cosθ
とすると
α+β=√(3/2)…(1)
αβ=1/4…(2)

α=βと仮定すると…(3)
↓これと(1)から
2α=α+β=√(3/2)
2α=√(3/2)
α={√(3/2)}/2
↓両辺を2乗すると
α^2=3/8…(4)

(2)(3)から
α^2=αβ=1/4
α^2=1/4
となって(4)α^2=3/8に矛盾するから
α≠β

No.2 回答者： kmee 回答日時： 2023/01/04 18:18

どこにも「α≠β」とは書いてないように見えますが。

「α+β=p かつ αβ=q のとき、
αとβを解に持つxの2次方程式は
x^2-px+q = 0」
の部分にも「α≠β」とは書いてません。

α=β=tとすると
p=2t
q=t^2
となり、方程式は
x^2-2tx+t^2=0
となり、
x=t (重解)
が得られます。

つまり
α=β ⇔ x^2-px+q = 0 が1つの重解を持つ
α≠β ⇔ x^2-px+q = 0 が2つの異なる解を持つ
となり、方程式を解けば、α=βなのか α≠βなのかがわかります。

今回は異なる2つの解になることがわかったので、α≠βだとわかります。


あと
方程式の異なる2つの解がx0,x1 のときに、α=x0なのかα=x1なのかはこれだけでは決められません。
問題によって
・α=x0のときとα=x1のときとで場合分けする
・別の条件から どちらかが決まる
・どちらかを決める必要がない
等で解答を続けます。

ただ、 α=x0 のときは βはもう一方のx1 になり、α=x1 のときは βはもう一方のx0 になります。
α=β=x0 や α=β=x1 とはなりません。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/04 17:42

写真に星マークを付けたとこって、

右側面中央やや下の囲みのとこでしょうか？
(sinθ,cosθ) = ((√6+√2)/4, (√6-√2)/4), ((√6-√2)/4, (√6+√2)/4)
って書いてあるとこ。
そのどこにも α≠β なんて書いてない気がしますが、
この右辺が (sinα,cosα), (sinβ,cosβ) って意味なら
実際 sinα ≠ sinβ だから α≠β なんじゃないですかね。