数学の質問です。(2)の解説で両辺に-1をかけてるところがあると思うのですが、なぜでしょうか？ 答え

数学の質問です。(2)の解説で両辺に-1をかけてるところがあると思うのですが、なぜでしょうか？
答えもかけなければ1/2＜cosθ cosθ＜0になるのですが…
よろしくお願いします。

No.3 回答者： kairou 回答日時： 2023/01/04 21:51

＞答えもかけなければ1/2＜cosθ cosθ＜0になるのですが…

なりません。
cosθ(1-2cosθ)>0 は、cosθ と 1-2cosθ が 同符号です。
cosθ>0 のとき 1-2cosθ>0 → 1/2>cosθ 、合わせて 0<cosθ<1/2 。
cosθ<0 のとき 1-2cosθ<0 → 1/2<cosθ 、これはあり得ません。

No.2 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/04 21:40

cosθ(1-2cosθ)>0

↓両辺にcosθ(2cosθ-1)を加えると

cosθ(1-2cosθ)+cosθ(2cosθ-1)>cosθ(2cosθ-1)
cosθ(1-2cosθ+2cosθ-1)>cosθ(2cosθ-1)

0>cosθ(2cosθ-1)

↓左右を入れ替えると

cosθ(2cosθ-1)<0

∴
0<cosθ<1/2

No.1 回答者： AっKI 回答日時： 2023/01/04 20:13

あなたのようなミスを防ぐためです。

説明を簡単にするためcosθ＝xとおきます。

ｘ（１－２ｘ）＞０・・・◎
これの解は
０＜ｘ＜１／２
です。

え？
（xの二次式）＞0・・・①
の解は　α＜ｘ，ｘ＜β　・・・☆
ではないの？
と言われるでしょう。

これ、肝心なことを忘れているのです。
☆が解になるのは
「①の左辺の二次式の『二次の係数が正のとき』」
の場合の解です。

◎の左辺のx二乗の係数は－２、つまり「負」です。
負の場合の解は　α＜ｘ＜β　の形になるので
０＜ｘ＜１／２
になります。

え？
負の場合なんて習ってないよ
と言われるかもしれません。
はい、習っていないと思います。
じゃ、どうしたのか？
『不等式の両辺に－１をかけて
「二次の係数を正にして、正の場合用の公式で解決させた」』
のです。だから－１をかけているのです。


ここまで解説してきましたが
一度、原点に立ち返って、
グラフとｘ軸との関係で二次不等式を
考えてみることをお勧めします。
公式に慣れて機械的にやりすぎていると
もともとの意味を忘れがちになりますから
もともとどういう意味だったのか
復習してみるとよいでしょう。
（教科書で初めて二次不等式が出て
きたところを見てみればよい）