2変数関数の証明問題

2変数関数f:R^2→R,f(x,y)=2xが連続であることをε-δ論法を用いて証明せよ。

この証明問題はどうやって解けばよいのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/10 14:02

∀(x0,y0)∈R^2, ∀ε>0, ∃δ>0,

　　∀(x,y)∈R^2, √( (x - x0)^2 + (y - y0)^2 ) < δ ⇒ ｜ 2x - 2x0 ｜ < ε
の成立を示せばよいです。
任意の正数 ε に対して、 上式が成立する δ の具体例を挙げてしまえばいい。

δ < ε/2 であれば十分ですね。
| x - x0 | = √( (x - x0)^2 + 0 )
　　　　≦ √( (x - x0)^2 + (y - y0)^2 ) < δ < ε/2 になりますから。

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/10 13:59

「ε-δ論法を用いて」って書いてあるんだから, 素直に従えばいいのではないかね.