うさぎが数直線上をぴょんぴょん飛び跳ねています。 よく観察すると、うさぎは 0にいれば1秒後に確率√

うさぎが数直線上をぴょんぴょん飛び跳ねています。
よく観察すると、うさぎは
0にいれば1秒後に確率√2-1で1へ、確率2-√2で-1へ移動し、
0にいなければ1秒後に確率1/2で+1、確率1/2で-1移動する
ようです。
0にいたうさぎがn秒後に再び0にいる確率が
無理数になるのはnがいくつのときですか？

No.3 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/23 12:03

0から出発してn回目で0に戻ってくる経路全部の集合をΩ[n]、

Ω[n]のうちで、途中で一度も0に戻ってこない経路全部の集合をX[n]、
X[n]のうちで、最初に+1の方に動く経路全部の集合をF[n]、そうでないのをB[n]
としますと
x∈F[n]のとき、その移動方向の符号を全部逆にした経路x*∈B[n]が存在して、
　　Pr(x) + Pr(x*) = 2^(1-n)
である。だから、
　　Pr(x∈X[n]) = Pr(x∈F[n]) + Pr(x∈B[n]) = (2^(1-n))|X[n]| ∈有理数
なのは明らか。
　さて、x∈Ω[n]について、それはx∈X[n] であるか、あるいは
　　∃k∃s∃t(s∈X[k] ∧ t∈Ω[n-k) ∧ x=(sに続けてtをやったもの))
である。だから
　　Pr(x∈Ω[n]) = Pr(x∈X[n]) + Σ{k = 2〜n-2} Pr(s∈X[k])Pr(t∈Ω[n-k))
特に
　　Ω[2] = X[2]
というわけで、n = 2, 4, 6, .... の帰納法で
　　Pr(x∈Ω[n]) ∈ 有理数
が言えるでしょう。

No.2 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/01/22 11:06

＞（それ以外の位置にいる可能性も有理数ですから）

２秒後に0の位置に戻ってくる確率
＝（√2-1）(1/2)+(2-√2)（1/2）＝(1/2)(1)=1/2
なので、２秒後に0以外の位置にいる確率は1-1/2＝1/2ですが、、
ちょっと考え方的に問題があるかもしれません。

ということで、
２秒後に２の位置にいる確率は（√2-1）(1/2)で-2の位置にいる確率が(2-√2)（1/2）なんですけど、それらが、その２秒後に0に戻ってくる確率を足すと√2の部分は相殺されてしまいます。

最初に+側に行った兎がn秒後に0に戻ってくる確率と、最初にマイナス側に行った兎がn秒後に0に戻ってくる確率は（その対称性から）同じで、それに最初に行く方向の確率をそれぞれかけたものを足すと、有理数になると言ったほうが、正しいのかもしれません。

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2023/01/22 10:42

0の位置にいた兎が２秒後に0に戻ってくる可能性は有理数ですので、（それ以外の位置にいる可能性も有理数ですから）ｎ秒後に0に戻ってく

る可能性も有理数ですので、いつまでたっても無理数にならないのでは？

この回答へのお礼

>（それ以外の位置にいる可能性も有理数ですから）

ここを詳しくお願いできますか？

お礼日時：2023/01/22 10:50