B=0.5(T)の一様な時速密度の中で100回巻きの半径r=0.2mの円状コイルに電流I=0.5Aを

B=0.5(T)の一様な時速密度の中で100回巻きの半径r=0.2mの円状コイルに電流I=0.5Aを流した。

トルクTが最小になるコイルの設置方法を説明せよ。

どうなればトルクが最小になりますか？

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/22 23:35

ワンターン、電流=0.5・100=50[A]流したとする。

Bがコイル面に垂直の場合は、どの位置でも半径方向の力が
働き(コイルを縮めるか広げる力)、トルクは0.　トルク0が
最小だから、このように設置すればよい。

ただ、それ以外にないかなど、計算によって確かめる。
分かりにくいので、コイルの半径をa、コイルをxy平面に置
き、中心を原点に合わせる。

球座標系で考え、コイルの位置を変える代わりに、磁束密度
Bの方向を変えて計算する。φ方向にコイルは回転対称だから
Bの方向は θのみ可変とし、φ=π/2の方向(y-z面)に固定して
も一般性は失わない。

すると
　B=B<0,sinθ,cosθ>
また、コイルに流れるdφ間の微小電流は
　i=Iadφ<-sinφ,cosφ,0>
となる。

コイルの微小片にかかる力は
　f=i×B=BIadφ<cosφcosθ,sinφcosθ,-sinφsinθ>
原点から、電流微小片への位置ベクトルは
　r=a<cosφ,sinφ,0>
だから、トルクは
　t=r×f=BIa²<-sin²φsinθ,cosφsinφsinθ,
　　　　　　　　　　cosφsinφcosθ-sinφcosφcosθ>
　　=BIa²<-sin²φsinθ,cosφsinφsinθ,0>

トルク全体はφ=0～2πで積分すればよい。このとき、
　　　∲sin²φdφ=π, ∲cosφsinφsinθdφ=0
だから
　T=∫[0,2π] tdφ=BIa²π<-sinθ,0,0>
となる。

したがって、|T|が最小になるのは θ=0,π のとき。いずれ
にしても、コイル面に垂直な磁束密度の時となる。