長さ10の鉄線があります。これを任意の1点で90度に折り曲げます。この折れた鉄線の長方形の面積の平均は?


縦横面積
0100(面積:最小値)
0.19.90.99
0.29.81.96

5525(面積:最大値)

9.90.10.99
1000(面積:最小値)

この場合、平均面積値は16.5となりました。理論値の求め方を教えてください。

A 回答 (3件)

こんにちは。


積分による回答もありますので、数列的に扱う場合を考慮してみました。

<方法>
縦Xi = 10*i/n(ただしi=0,1,2,…,n),横10-Xi としたときの面積Si = Xi(10-Xi) に対して、平均値Ave(n) = (S1+S2+…+Sn)/n の n→∞における値を求める。

<計算>
Si = Xi(10-Xi)
= (10*i/n)*(10-10*i/n)
= 100*{i/n - (i/n)^2}

Ave(n) = (S1 + S2 + … + Sn)/n
= [100*{1/n-(1/n)^2} + 100*{2/n-(2/n)^2} + … + 100*{n/n-(n/n)^2}]/n
= [100*(1/n + 2/n + … + n/n) - 100*{(1/n)^2 + (2/n)^2 + … + (n/n)^2}]/n
= [100*(1+2+ … +n)/n - 100*{(1)^2 + (2)^2 + … + (n)^2}/(n^2)]/n
= {100*(n*(n+1)/2)/n-100*(n*(n+1)*(2n+1)/6)/(n^2)}/n
=50*(1)*(1+1/n)-(50/3)*(1)*(1+1/n)*(2+1/n)
→50*1*1-(50/3)*1*1*2 (n→∞)

よってAve(n)→50-100/3=50/3 (n→∞)
16.6666…という感じですね。

なお、
途中計算には高校数学程度の数列の和
1+2+…+n = n*(n+1)/2
1^2+2^2+…+n^2 = n*(n+1)*(2n+1)/6
を用いています。
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積分はご存じでしょうか?



縦x 横10-xとして、
長方形の面積はx(10-x)となりますので、
縦の長さが0から10まで変わったときの平均は、

理論値=∫<10 0> (-x^2 + 10x) dx ÷ 10

= [-x^3/3 + 5x^2]<10 0> ÷ 10

= (-1000/3 + 500)/10 = 50/3 = 16.6666

となります。

なお、式中の<10 0>は積分範囲を表します。
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用語の使い方が正確ではないかもしれませんが、



端から距離xの点で折ったときの長方形の面積をxの二次関数で表す。
定義域(0≦x≦10)で定積分を求める。
それを定義域の長さで割る。
みたいな事でいいと思います。

ちなみに50/3という答えになりました。
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