∫√1-x^2 dxと√1-x^2を第5項までべき級数で表したいので、計算に自信のある方お願いします

∫√1-x^2 dxと√1-x^2を第5項までべき級数で表したいので、計算に自信のある方お願いします！

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/23 14:27

展開中心はどこ？

x=0 中心に展開したいのなら、マクローリン展開の定義に沿って
黙々と計算するだけだし、答え合わせはPCがやってくれるけど。

f(x) = √(1-x^2) （だよね？）を微分すると、
df/dx = -x(1-x^2)^(-1/2),
(d/dx)^2 f = -(1-x^2)^(-3/2),
(d/dx)^3 f = -3x(1-x^2)^(-5/2),
(d/dx)^4 f = -3(1+4x^2)(1-x^2)^(-7/2)
になるので、 x=0 のとき
df/dx = 0,
(d/dx)^2 f = -1,
(d/dx)^3 f = 0,
(d/dx)^4 f = -3.
これを使って、マクローリン展開の最初の５項は
f(x) = 1 + 0x + (-1)x^2/2! + 0x^3/3! + (-3)x^4/4! + (5次以上の項)
　　= 1 - (1/2)x^2 - (1/8)x^4 + (5次以上の項).

これを x で積分すれば、
∫f(x)dx = C + x - (1/6)x^3 + (5次以上の項)　；Cは任意定数.

「第5項まで」というのが、まさか
係数が 0 でない項を 5個という意味であれば、
項数を増やして同様にやってください。