最小問題（大学数学）

f(x,y)=(x^2-y^2)e^-(x+2y)

の極値とD={(x,y)|x+y>=0,y>=0}におけるf(x,y)の最小値をもとめたいです。どのようになるか教えてください。お願いいたします。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/23 17:32

1.

　fx=2xexp(-x-2y)+(x²-y²)(-1)exp(-x-2y)
　　=(2x-x²+y²)exp(-x-2y)
　fy=-2yexp(-x-2y)+(x²-y²)(-2)exp(-x-2y)
　　=2(-y-x²+y²)exp(-x-2y)

fx=fy=0 となるのは( exp()≠0 なので)
　2x-x²+y²=-y-x²+y²=0 → y=-2x・・・・①
　 → 2x-x²+(-2x)²=0
　 → x(2+3x)=0 → x=0 or x=-2/3
したがって、停留点は①に入れてyを求め
　(x,y)=(0,0) , (-2/3,4/3)
となる。

　fxx=(2-2x)exp(-x-2y)+(2x-x²+y²)(-1)exp(-x-2y)
　　　=(2-4x+x²-y²)exp(-x-2y)
　fyy=2{(-1+2y)exp(-x-2y)+(-y-x²+y²)(-2)exp(-x-2y)}
　　　=2(-1+4y+2x²-2y²)exp(-x-2y)
　fxy=2yexp(-x-2y)+(2x-x²+y²)(-2)exp(-x-2y)
　　　=2(y-2x+x²-y²)exp(-x-2y)

(0,0)で
　fxx=2>0 , fyy=-2 , fxy=0, Δ=fxxfyy-fxy²=-4<0
なので、鞍点。

(-2/3,4/3)で
　fxx=(2+8/3+4/9-16/9)exp(2/3-8/3)=(10/3)exp(-2)>0
　fyy=2(-1+16/3+2・4/9-2・16/9)exp(-2)=(10/3)exp(-2)
　fxy=2(4/3+4/3+4/9-16/9)exp(-2)=(8/3)exp(-2)
　Δ=(100/9-64/9)exp(-4)>0
なので、極小点であり、
　f=(4/9-16/9)exp(-2)=-(4/3)exp(-2)・・・・・②
極値はこれのみ。

したがって、Dの内部(開集合)で微分可能な関数が最小なら、
極小でもある。したがって、Dの境界を調べる。

2.
y=0, x≧0の境界

　f(x)=x²exp(-x)
　f'=2xexp(-x)-x²exp(-x)=x(2-x)exp(-x)
　f'=0 → x=0 or x=2
つまり、最小の候補は
　f(0)=0 , f(2)=4exp(-2)・・・・・③

3.
y≧0 , x+y=0の境界

　f(y)=-y²exp(-y)
　f'=df/dy=-2yexp(-y)+y²exp(-y)=y(-2+y)exp(-y)
　f'=0 → y=0 or y=2
つまり、最小の候補は
　f(0)=0 , f(2)=-4exp(-2)・・・・④

4.
以上のことから、②③④を比較して、最小は④で、x+y=0
から
　x=-2, y=2, f(x,y)=-4exp(-2)
を得る。