積分（大学数学）

D={(x,y,z)|0<=z<=(x^2+y^2)^1/2<=1,x>=0}
∫∫∫[D](x+zy^2)dxdydz

この積分の解き方を教えてください。

No.3 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/26 02:15

大学数学？

　　x = r cosθ
　　y = r sinθ
　　dx dy = |r| dθ dr
で
　　D = {θ,z,r) | -π/2 ≦ θ ≦ π/2 ∧ 0 ≦ z ≦ r ∧ 0 ≦ r ≦ 1}
だな、ぐらいは気がつくでしょう。あとはもう、普通にやるだけ。問題の積分を
　　J = J1 + J2
ただし
　　J1 = ∫∫∫_D (r^2)cosθ dθ dz dr
　　J2 = ∫∫∫_D (r^3)z((sinθ)^2) dθ dz dr
とすると
　　J1 = ∫∫ 2(r^2) dz dr = 2∫(r^3) dr = 2/4 = 1/2
　　J2 = ∫∫(π/2)(r^3)z dz dr = (π/4)∫(r^5) dr = π/24
　　J = 1/2 + π/24

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2023/01/26 16:17

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/24 22:00

訂正

x≧0 なので、φ=-π/2～π/2 でした。

　∫∫∫[D](x+zy^2)dxdydz
　=∫[0,π/4]dθ∫[0,1/cosθ]dr∫[0,2π]dφ
　　　　・(r³sin²θcosφ+r⁵cosθsin³θsin²φ)

・・・∫[-π/2,π/2] cosφdφ=2 , ∫[-π/2,π/2] sin²φdφ=π/2 なので

　=∫[0,π/4]dθ∫[0,1/cosθ]dr (r³sin²θ・2+r⁵cosθsin³θ・π/2)

ここで
・・・・∫[0,1/cosθ]dr r³sin²θ・2=2sin²θ[r⁴/4][1/cosθ,0]
　　　　=(1/2)sin²θ/cos⁴θ=(1/2)tan²θ/cos²θ
・・・・∫[0,1/cosθ]dr (r⁵cosθsin³θ・π/2)
　　　　=(π/2)cosθsin³θ[r⁶/6][1/cosθ,0]
　　　　=(π/12)cosθsin³θ/cos⁶θ=(π/12)tan³θ/cos²θ
なので

　=∫[0,π/4]dθ ( (1/2)tan²θ/cos²θ+(π/12)tan³θ/cos²θ )
　=∫[0,1] ( (1/2)u²+(π/12)u³ )du・・・(u=tanθと変換)
　=( (1/2)[u³/3]+(π/12)[u⁴/4] ) [1,0]
　=1/6+π/48

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2023/01/26 16:18

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/24 15:33

1.

z=√(x²+y²) は原点を頂点とし、軸がz軸の円錐を逆さまにした
ものとなる。稜線の角度は π/4 で一定となる。z≦1 であるから、
Dの領域は上の円錐で、底面の半径が1、高さも1となる。

2.
直接だととても面倒そう。そこで、球座標に変換する。すると
積分範囲は
　θ=0～π/4、φ=0～2π
である。また、rはz=1の線までなので、交点は 1=z=rcosθ →
r=1/cosθ となり、積分範囲は
　r=0～1/cosθ
となる。

3.
　x+zy^2=rsinθcosφ+rcosθ(rsinθsinφ)²
　　　　　=rsinθcosφ+r³cosθsin²θsin²φ
　dxdydz=r²sinθdrdφdθ
なので、以上により積分すると
　∫∫∫[D](x+zy^2)dxdydz
　=∫[0,π/4]dθ∫[0,1/cosθ]dr∫[0,2π]dφ
　　　　・(r³sin²θcosφ+r⁵cosθsin³θsin²φ)

・・・∫[0,2π] cosφdφ=0 , ∫[0,2π] sin²φdφ=π なので

　=∫[0,π/4]dθ∫[0,1/cosθ]dr (0+r⁵cosθsin³θ 2π/2)

　=π∫[0,π/4]dθ ( cosθsin³θ [r⁶/6][1/cosθ,0] )
　=(π/6)∫[0,π/4]dθ ( cosθsin³θ [1/cos⁶θ ] )
　=(π/6)∫[0,π/4]dθ ( sin³θ/cos⁵θ )
　=(π/6)∫[0,π/4]dθ ( tan³θ/cos²θ )

　=(π/6)∫[0,1] u³du・・・・・(u=tanθと変換)
　=(π/6)[u⁴/4][1,0]=(π/6)/4
　=π/24