積分と不等式

とあるサイトでマルコフの不等式について、X が連続型確率変数の場合の証明で、
E(|X|)=∫[-∞→∞]|x|f(x)dx
≧∫[-∞→-a]|x|f(x)dx+∫[a→∞]|x|f(x)dx
≧∫[-∞→-a]af(x)dx+∫[a→∞]af(x)dx
=aP(X≤−a)+aP(X≥a)
=aP(|X|≥a)
と示していました。
この、２、３段目の不等式
∫[-∞→-a]|x|f(x)dx+∫[a→∞]|x|f(x)dx
≧∫[-∞→-a]af(x)dx+∫[a→∞]af(x)dx
がなぜ成り立つかがわかりません

解説頂けると助かります。
よろしくお願いします。

No.2 ベストアンサー 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/26 22:55

書いてないけど、f(x)は確率密度関数でしょう。

だから、∀x f(x)≧0 である。これが前提ですね。

すると、a≧0のとき、∫[-∞→-a]|x|f(x)dx のxはx≦-aなので、|x|≧a。だからf(x)≧0より ∀x(x≦-a ⇒ |x|f(x) ≧ af(x)) なので
　　a≧0 ⇒ ∫[-∞→-a](|x|f(x) - af(x))dx ≧0
またa≧0のとき、∫[a→∞]|x|f(x)dxのxはx≧aなので、|x|≧aである。だからf(x)≧0より ∀x(x≧a ⇒ |x|f(x) ≧ af(x)) なので
　　a≧0 ⇒ ∫[a→∞](|x|f(x) - af(x))dx ≧ 0
です。（a＜0の場合はもちろんこれではダメです。）

この回答へのお礼

丁寧な回答ありがとうございます！
助かりましたm(_ _)m

お礼日時：2023/01/27 12:26

No.1 回答者： Tacosan 回答日時： 2023/01/26 22:30

a が非負と仮定して

x ≦ -a なら |x| ≧ a,
x ≧ a なら |x| ≧ a,
任意の x に対して f(x) ≧ 0
だから.

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
助かりますm(_ _)m

お礼日時：2023/01/27 12:26